V minulej video lekcii sme sa naučili, že stupeň určitého základu je výraz, ktorý predstavuje súčin samotného základu, braný v množstve rovnajúcom sa exponentu. Pozrime sa teraz na niektoré z najdôležitejších vlastností a operácií mocí.
Vynásobme napríklad dve rôzne mocniny s rovnakým základom:
Predstavme si túto prácu celú:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Po vypočítaní hodnoty tohto výrazu dostaneme číslo 32. Na druhej strane, ako je zrejmé z toho istého príkladu, 32 môže byť reprezentované ako súčin toho istého základu (dvoch), braného 5-krát. A naozaj, ak to spočítate, potom:
Môžeme teda s istotou konštatovať, že:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Toto pravidlo funguje úspešne pre všetky indikátory a dôvody. Táto vlastnosť násobenia mocniny vyplýva z pravidla, že význam výrazov sa pri transformáciách v súčine zachováva. Pre ľubovoľnú bázu a sa súčin dvoch výrazov (a)x a (a)y rovná a(x + y). Inými slovami, keď sa vytvoria akékoľvek výrazy s rovnakým základom, výsledný jednočlen má celkový stupeň vytvorený sčítaním stupňov prvého a druhého výrazu.
Prezentované pravidlo funguje skvele aj pri násobení viacerých výrazov. Hlavnou podmienkou je, aby mali všetci rovnaké základy. Napríklad:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Nie je možné pridávať stupne a skutočne vykonávať akékoľvek spoločné akcie založené na moci s dvoma prvkami výrazu, ak sú ich základy odlišné.
Ako ukazuje naše video, vďaka podobnosti procesov násobenia a delenia sa pravidlá sčítania mocnín v produkte dokonale prenášajú do postupu delenia. Zvážte tento príklad:
Transformujme výraz výraz po výraze do jeho plnej podoby a zredukujme rovnaké prvky v dividende a deliteľovi:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Konečný výsledok tohto príkladu nie je až taký zaujímavý, pretože už v procese jeho riešenia je jasné, že hodnota výrazu sa rovná druhej mocnine dvoch. A práve dvojku získame odčítaním stupňa druhého výrazu od stupňa prvého.
Na určenie stupňa kvocientu je potrebné odpočítať stupeň deliteľa od stupňa dividendy. Pravidlo funguje na rovnakom základe pre všetky svoje hodnoty a pre všetky prírodné sily. Vo forme abstrakcie máme:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Z pravidla delenia rovnakých základov stupňami vyplýva definícia pre nultý stupeň. Je zrejmé, že nasledujúci výraz vyzerá takto:
(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0
Na druhej strane, ak delenie urobíme viac vizuálnym spôsobom, dostaneme:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Pri zmenšení všetkých viditeľných prvkov zlomku sa vždy získa výraz 1/1, teda jedna. Preto sa všeobecne uznáva, že každá základňa zvýšená na nulovú mocninu sa rovná jednej:
Bez ohľadu na hodnotu a.
Bolo by však absurdné, ak by 0 (ktorá stále dáva 0 pre akékoľvek násobenie) sa nejakým spôsobom rovná jednej, takže vyjadrenie tvaru (0) 0 (nula na nulovú mocninu) jednoducho nedáva zmysel a vzorec ( a) 0 = 1 pridajte podmienku: „ak sa a nerovná 0“.
Poďme vyriešiť cvičenie. Poďme zistiť hodnotu výrazu:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Keďže základ je všade rovnaký a rovná sa 34, konečná hodnota bude mať rovnaký základ so stupňom (podľa vyššie uvedených pravidiel):
Inými slovami:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Odpoveď: výraz sa rovná jednej.
Pojem titul z matematiky sa zavádza v 7. ročníku na hodine algebry. A následne počas celého štúdia matematiky sa tento pojem aktívne využíva v rôznych podobách. Stupne sú pomerne náročnou témou, ktorá si vyžaduje zapamätanie si hodnôt a schopnosť správne a rýchlo počítať. Aby matematici pracovali s titulmi rýchlejšie a lepšie, prišli s vlastnosťami stupňov. Pomáhajú redukovať veľké výpočty, do určitej miery premieňajú obrovský príklad na jediné číslo. Nie je toľko vlastností a všetky sa dajú ľahko zapamätať a aplikovať v praxi. Preto článok pojednáva o základných vlastnostiach stupňa, ako aj o tom, kde sa uplatňujú.
Vlastnosti stupňa
Pozrieme sa na 12 vlastností stupňov vrátane vlastností stupňov s rovnakými základňami a ku každej vlastnosti uvedieme príklad. Každá z týchto vlastností vám pomôže rýchlejšie vyriešiť problémy so stupňami a tiež vás ušetrí od mnohých výpočtových chýb.
1. nehnuteľnosť.
Mnoho ľudí veľmi často zabúda na túto vlastnosť a robí chyby, pričom číslo s nulovou mocninou predstavuje nula.
2. nehnuteľnosť.
3. nehnuteľnosť.
Treba mať na pamäti, že túto vlastnosť možno použiť len pri násobení čísel, pri sčítaní to nefunguje! A nesmieme zabúdať, že táto a nasledujúce vlastnosti platia len pre mocniny s rovnakými základmi.
4. nehnuteľnosť.
Ak je číslo v menovateli umocnené na zápornú mocninu, potom pri odčítaní sa stupeň menovateľa berie do zátvoriek, aby sa znamienko pri ďalších výpočtoch správne zmenilo.
Vlastnosť funguje len pri delení, neplatí pri odčítaní!
5. nehnuteľnosť.
6. nehnuteľnosť.
Táto vlastnosť môže byť použitá aj v opačnom smere. Jednotka delená číslom je do určitej miery toto číslo na mínus mocninu.
7. nehnuteľnosť.
Túto vlastnosť nemožno použiť na súčet a rozdiel! Zvýšenie súčtu alebo rozdielu na mocninu používa skôr skrátené vzorce násobenia ako mocninné vlastnosti.
8. nehnuteľnosť.
9. nehnuteľnosť.
Táto vlastnosť funguje pre akúkoľvek zlomkovú mocninu s čitateľom rovným jednej, vzorec bude rovnaký, iba mocnina odmocniny sa bude meniť v závislosti od menovateľa mocniny.
Táto vlastnosť sa často používa aj naopak. Odmocninu ktorejkoľvek mocniny čísla možno znázorniť ako toto číslo k mocnine jednotky delené mocninou odmocniny. Táto vlastnosť je veľmi užitočná v prípadoch, keď nie je možné extrahovať koreň čísla.
10. nehnuteľnosť.
Táto vlastnosť funguje nielen s odmocninami a druhými mocninami. Ak sa stupeň koreňa a stupeň, do ktorého je tento koreň vyvýšený, zhodujú, potom bude odpoveďou radikálny výraz.
11. nehnuteľnosť.
Túto vlastnosť musíte mať možnosť vidieť včas pri jej riešení, aby ste sa ušetrili od obrovských výpočtov.
12. nehnuteľnosť.
Každá z týchto vlastností sa na vás v úlohách stretne viackrát; môže byť uvedená v čistej forme, alebo môže vyžadovať určité transformácie a použitie iných vzorcov. Preto na správne rozhodnutie nestačí poznať iba vlastnosti, musíte si precvičiť a zakomponovať ďalšie matematické poznatky.
Aplikácia právomocí a ich vlastnosti
Aktívne sa používajú v algebre a geometrii. Samostatné, dôležité miesto majú tituly z matematiky. S ich pomocou sa riešia exponenciálne rovnice a nerovnice a rovnice a príklady súvisiace s inými odvetviami matematiky sú často komplikované mocninami. Mocniny pomáhajú vyhnúť sa veľkým a zdĺhavým výpočtom. Ale na prácu s veľkými mocnosťami alebo s mocninami veľkých čísel potrebujete poznať nielen vlastnosti mocniny, ale aj kompetentne pracovať so základňami, vedieť ich rozšíriť, aby ste si uľahčili svoju úlohu. Pre pohodlie by ste mali poznať aj význam čísel umocnených na mocninu. To vám skráti čas pri riešení a eliminuje potrebu zdĺhavých výpočtov.
Osobitnú úlohu v logaritmoch zohráva pojem stupňa. Pretože logaritmus je v podstate mocninou čísla.
Skrátené vzorce na násobenie sú ďalším príkladom použitia mocniny. Vlastnosti stupňov sa v nich nedajú použiť, sú rozšírené podľa špeciálnych pravidiel, ale v každom vzorci skráteného násobenia sú vždy stupne.
Tituly sa aktívne využívajú aj vo fyzike a informatike. Všetky prevody do sústavy SI sa robia pomocou mocnín a v budúcnosti sa pri riešení úloh využívajú vlastnosti mocniny. V informatike sa mocniny dvoch aktívne používajú na uľahčenie počítania a zjednodušenia vnímania čísel. Ďalšie výpočty na prevod merných jednotiek alebo výpočty problémov, podobne ako vo fyzike, sa vyskytujú pomocou vlastností stupňov.
Stupne sú veľmi užitočné aj v astronómii, kde málokedy uvidíte využitie vlastností stupňa, no samotné stupne sa aktívne využívajú na skrátenie zápisu rôznych veličín a vzdialeností.
Stupne sa používajú aj v každodennom živote pri výpočte plôch, objemov a vzdialeností.
Stupne sa používajú na zaznamenávanie veľmi veľkých a veľmi malých veličín v akejkoľvek oblasti vedy.
Exponenciálne rovnice a nerovnice
Vlastnosti stupňov zaujímajú špeciálne miesto práve v exponenciálnych rovniciach a nerovniciach. Tieto úlohy sú veľmi bežné, a to ako v školských kurzoch, tak aj na skúškach. Všetky sú riešené aplikáciou vlastností stupňa. Neznáma sa vždy nachádza v samotnom stupni, takže poznať všetky vlastnosti, vyriešiť takúto rovnicu alebo nerovnosť nie je ťažké.
Je zrejmé, že čísla s mocninami možno sčítať ako iné veličiny , a to tak, že ich pridáte jeden po druhom so svojimi znakmi.
Takže súčet a 3 a b 2 je a 3 + b 2.
Súčet a 3 - b n a h5 - d4 je a 3 - b n + h5 - d4.
Odds rovnaké mocniny rovnakých premenných možno pridať alebo odčítať.
Takže súčet 2a2 a 3a2 sa rovná 5a2.
Je tiež zrejmé, že ak vezmete dve políčka a, alebo tri políčka a, alebo päť políčok a.
Ale stupne rôzne premenné A rôzne stupne identické premenné, musia byť zložené tak, že sa k nim pridajú ich znamienka.
Takže súčet 2 a 3 je súčet 2 + a 3.
Je zrejmé, že druhá mocnina a a kocka a sa nerovná dvojnásobku druhej mocniny a, ale dvojnásobku kocky a.
Súčet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.
Odčítanie právomoci sa vykonávajú rovnakým spôsobom ako sčítanie, s výnimkou toho, že znamienka subtrahendov sa musia zodpovedajúcim spôsobom zmeniť.
alebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3h2b6 - 4h2b6 = -h2b6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Násobenie právomocí
Čísla s mocninami je možné násobiť, podobne ako iné veličiny, ich písaním za sebou, či už so znamienkom násobenia alebo bez neho.
Výsledkom vynásobenia a 3 b 2 je teda a 3 b 2 alebo aaabb.
alebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 r.
Výsledok v poslednom príklade možno usporiadať pridaním rovnakých premenných.
Výraz bude mať tvar: a 5 b 5 y 3.
Porovnaním niekoľkých čísel (premenných) s mocninami môžeme vidieť, že ak sa ktorékoľvek dve z nich vynásobia, výsledkom je číslo (premenná) s mocninou rovnajúcou sa čiastka stupne pojmov.
Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Tu je 5 mocnina výsledku násobenia, rovná 2 + 3, súčet mocnin členov.
Takže a n .a m = a m+n .
Pre a n sa a berie ako súčiniteľ toľkokrát, ako je mocnina n;
A m sa berie ako faktor toľkokrát, koľkokrát sa rovná stupeň m;
preto, mocniny s rovnakými základmi možno násobiť sčítaním mocninných mocnín.
Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
alebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpoveď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Toto pravidlo platí aj pre čísla, ktorých exponenty sú negatívne.
1. Takže a-2.a-3 = a-5. Dá sa to zapísať ako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Ak a + b vynásobíme a - b, výsledkom bude a 2 - b 2: tzn
Výsledok vynásobenia súčtu alebo rozdielu dvoch čísel sa rovná súčtu alebo rozdielu ich druhých mocnín.
Ak vynásobíte súčet a rozdiel dvoch čísel umocnených na štvorec, výsledok sa bude rovnať súčtu alebo rozdielu týchto čísel v štvrtý stupňa.
Takže (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a2 - y2)⋅(a2 + y2) = a4 - y4.
(a 4 - y 4)⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Delenie stupňov
Čísla s mocninami možno deliť ako ostatné čísla odpočítaním od dividendy alebo ich umiestnením do zlomkovej formy.
Takže a 3 b 2 delené b 2 sa rovná a 3.
alebo:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Zápis 5 delený 3 vyzerá ako $\frac(a^5)(a^3)$. Ale toto sa rovná 2. V rade čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ľubovoľné číslo možno deliť iným a exponent bude rovný rozdiel ukazovatele deliteľných čísel.
Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú..
Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená $\frac(yyy)(yy) = y$.
A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, že $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
alebo:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Pravidlo platí aj pre čísla s negatívne hodnoty stupňov.
Výsledkom delenia -5 a -3 je -2.
Tiež $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 alebo $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Násobenie a delenie mocnín je potrebné veľmi dobre ovládať, keďže takéto operácie sú v algebre veľmi využívané.
Príklady riešenia príkladov so zlomkami obsahujúcimi čísla s mocninami
1. Znížte exponenty o $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpoveď: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Znížte exponenty o $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpoveď: $\frac(2x)(1)$ alebo 2x.
3. Znížte exponenty a 2 /a 3 a a -3 /a -4 a priveďte na spoločného menovateľa.
a 2 .a -4 je a -2 prvý čitateľ.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitateľ.
a 3 .a -4 je a -1 , spoločný čitateľ.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.
4. Znížte exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a priveďte na spoločného menovateľa.
Odpoveď: 2a 3 /5a 7 a 5a 5 /5a 7 alebo 2a 3 /5a 2 a 5/5a 2.
5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.
6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 číslom (b 2 - 1)/(x + a).
7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a an/y-3.
8. Vydeľte a 4 /y 3 a 3 /y 2 . Odpoveď: a/y.
9. Delenie (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h.
Sčítanie a odčítanie mocnín
Je zrejmé, že čísla s mocninami možno sčítať ako iné veličiny , a to tak, že ich pridáte jeden po druhom so svojimi znakmi.
Takže súčet a 3 a b 2 je a 3 + b 2.
Súčet a 3 - b n a h5 - d4 je a 3 - b n + h5 - d4.
Odds rovnaké mocniny rovnakých premenných možno pridať alebo odčítať.
Takže súčet 2a2 a 3a2 sa rovná 5a2.
Je tiež zrejmé, že ak vezmete dve políčka a, alebo tri políčka a, alebo päť políčok a.
Ale stupne rôzne premenné A rôzne stupne identické premenné, musia byť zložené tak, že sa k nim pridajú ich znamienka.
Takže súčet 2 a 3 je súčet 2 + a 3.
Je zrejmé, že druhá mocnina a a kocka a sa nerovná dvojnásobku druhej mocniny a, ale dvojnásobku kocky a.
Súčet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.
Odčítanie právomoci sa vykonávajú rovnakým spôsobom ako sčítanie, s výnimkou toho, že znamienka subtrahendov sa musia zodpovedajúcim spôsobom zmeniť.
alebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Násobenie právomocí
Čísla s mocninami je možné násobiť, podobne ako iné veličiny, ich písaním za sebou, či už so znamienkom násobenia alebo bez neho.
Výsledkom vynásobenia a 3 b 2 je teda a 3 b 2 alebo aaabb.
alebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 r.
Výsledok v poslednom príklade možno usporiadať pridaním rovnakých premenných.
Výraz bude mať tvar: a 5 b 5 y 3.
Porovnaním niekoľkých čísel (premenných) s mocninami môžeme vidieť, že ak sa ktorékoľvek dve z nich vynásobia, výsledkom je číslo (premenná) s mocninou rovnajúcou sa čiastka stupne pojmov.
Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Tu je 5 mocninou výsledku násobenia, ktorá sa rovná 2 + 3, súčtu mocnín členov.
Takže a n .a m = a m+n .
Pre a n sa a berie ako súčiniteľ toľkokrát, ako je mocnina n;
A m sa berie ako faktor toľkokrát, koľkokrát sa rovná stupeň m;
preto, mocniny s rovnakými základmi možno násobiť sčítaním mocninných mocnín.
Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
alebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpoveď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Toto pravidlo platí aj pre čísla, ktorých exponenty sú negatívne.
1. Takže a-2.a-3 = a-5. Dá sa to zapísať ako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Ak a + b vynásobíme a - b, výsledkom bude a 2 - b 2: tzn
Výsledok vynásobenia súčtu alebo rozdielu dvoch čísel sa rovná súčtu alebo rozdielu ich druhých mocnín.
Ak vynásobíte súčet a rozdiel dvoch čísel umocnených na štvorec, výsledok sa bude rovnať súčtu alebo rozdielu týchto čísel v štvrtý stupňa.
Takže (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a2 - y2)⋅(a2 + y2) = a4 - y4.
(a 4 - y 4)⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Delenie stupňov
Čísla s mocninami možno deliť ako ostatné čísla odpočítaním od dividendy alebo ich umiestnením do zlomkovej formy.
Takže a 3 b 2 delené b 2 sa rovná a 3.
Zápis 5 delený 3 vyzerá ako $\frac $. Ale toto sa rovná 2. V rade čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ľubovoľné číslo možno deliť iným a exponent bude rovný rozdiel ukazovatele deliteľných čísel.
Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú..
Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac = y$.
A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac = a^n$.
alebo:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Pravidlo platí aj pre čísla s negatívne hodnoty stupňov.
Výsledkom delenia -5 a -3 je -2.
Tiež $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 alebo $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Násobenie a delenie mocnín je potrebné veľmi dobre ovládať, keďže takéto operácie sú v algebre veľmi využívané.
Príklady riešenia príkladov so zlomkami obsahujúcimi čísla s mocninami
1. Znížte exponenty o $\frac $ Odpoveď: $\frac $.
2. Znížte exponenty o $\frac$. Odpoveď: $\frac$ alebo 2x.
3. Znížte exponenty a 2 /a 3 a a -3 /a -4 a priveďte na spoločného menovateľa.
a 2 .a -4 je a -2 prvý čitateľ.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitateľ.
a 3 .a -4 je a -1 , spoločný čitateľ.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.
4. Znížte exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a priveďte na spoločného menovateľa.
Odpoveď: 2a 3 /5a 7 a 5a 5 /5a 7 alebo 2a 3 /5a 2 a 5/5a 2.
5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.
6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 číslom (b 2 - 1)/(x + a).
7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a an/y-3.
8. Vydeľte a 4 /y 3 a 3 /y 2 . Odpoveď: a/y.
Vlastnosti stupňa
Pripomíname, že v tejto lekcii budeme rozumieť vlastnosti stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a nulou. Mocniny s racionálnymi exponentmi a ich vlastnosti budú rozoberané na hodinách pre 8. ročník.
Mocnina s prirodzeným exponentom má niekoľko dôležitých vlastností, ktoré nám umožňujú zjednodušiť výpočty v príkladoch s mocninami.
Nehnuteľnosť č.1
Súčin síl
Pri násobení mocnín s rovnakými základmi zostáva základ nezmenený a mocniny sa sčítavajú.
a m · a n = a m + n, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.
Táto vlastnosť mocnín platí aj pre súčin troch a viacerých mocnín.
- Zjednodušte výraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Prezentujte to ako diplom.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Prezentujte to ako diplom.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Napíšte podiel ako mocninu
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - Vypočítajte.
Upozorňujeme, že v zadanej vlastnosti sme hovorili iba o násobení mocnín s rovnakými základmi. Nevzťahuje sa na ich sčítanie.
Súčet (3 3 + 3 2) nemôžete nahradiť 3 5. To je pochopiteľné, ak
vypočítať (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243
Nehnuteľnosť č.2
Čiastočné stupne
Pri delení mocnín s rovnakými základmi zostáva základ nezmenený a od exponentu deliteľa sa odpočítava exponent deliteľa.
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Príklad. Vyriešte rovnicu. Využívame vlastnosť kvocientových mocnín.
38: t = 34
Odpoveď: t = 3 4 = 81
Pomocou vlastností č. 1 a č. 2 môžete jednoducho zjednodušiť výrazy a vykonávať výpočty.
Príklad. Zjednodušte výraz.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5
Príklad. Nájdite hodnotu výrazu pomocou vlastností exponentov.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Upozorňujeme, že v Property 2 sme hovorili iba o delení právomocí s rovnakými základmi.
Rozdiel (4 3 −4 2) nemôžete nahradiť 4 1. Je to pochopiteľné, ak vypočítate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 4 1 = 4
Nehnuteľnosť č.3
Zvýšenie stupňa na moc
Pri zvýšení stupňa na mocninu zostáva základ stupňa nezmenený a exponenty sa násobia.
(a n) m = a n · m, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.
Pripomíname, že kvocient môže byť reprezentovaný ako zlomok. Preto sa téme povýšenia zlomku na mocnosť budeme venovať podrobnejšie na ďalšej strane.
Ako znásobiť sily
Ako znásobiť sily? Ktoré mocniny možno násobiť a ktoré nie? Ako vynásobiť číslo mocninou?
V algebre môžete nájsť súčin mocnín v dvoch prípadoch:
1) ak majú stupne rovnaké základy;
2) ak majú stupne rovnaké ukazovatele.
Pri násobení mocnín s rovnakými základmi musí byť základ ponechaný rovnaký a musia sa pripočítať exponenty:
Pri násobení stupňov s rovnakými ukazovateľmi je možné celkový ukazovateľ vyňať zo zátvoriek:
Pozrime sa na to, ako znásobiť mocniny na konkrétnych príkladoch.
Jednotka sa nepíše v exponente, ale pri násobení mocnín sa berú do úvahy:
Pri násobení môže existovať ľubovoľný počet mocnín. Malo by sa pamätať na to, že pred písmenom nemusíte písať znak násobenia:
Vo výrazoch sa najprv robí umocňovanie.
Ak potrebujete vynásobiť číslo mocninou, mali by ste najskôr vykonať umocnenie a až potom násobenie:
Násobenie mocnín s rovnakými základmi
Tento videonávod je k dispozícii na základe predplatného
Máte už predplatné? Prihláste sa
V tejto lekcii budeme študovať násobenie mocnín s podobnými základňami. Najprv si pripomeňme definíciu stupňa a sformulujme vetu o platnosti rovnosti . Potom uvedieme príklady jeho aplikácie na konkrétnych číslach a dokážeme to. Vetu použijeme aj na riešenie rôznych problémov.
Téma: Mocnosť s prirodzeným exponentom a jej vlastnosti
Lekcia: Násobenie mocnín s rovnakými základmi (vzorec)
1. Základné definície
Základné definície:
n- exponent,
— n mocnina čísla.
2. Veta 1
Veta 1. Pre akékoľvek číslo A a akékoľvek prírodné n A k rovnosť je pravdivá:
Inými slovami: ak A- ľubovoľné číslo; n A k prirodzené čísla, potom:
Preto pravidlo 1:
3. Výkladové úlohy
Záver:špeciálne prípady potvrdili správnosť vety č.1. Dokážme to vo všeobecnom prípade, teda pre akýkoľvek A a akékoľvek prírodné n A k.
4. Dôkaz vety 1
Dané číslo A– akékoľvek; čísla n A k – prirodzené. dokázať:
Dôkaz je založený na definícii stupňa.
5. Riešenie príkladov pomocou 1. vety
Príklad 1: Berte to ako titul.
Na riešenie nasledujúcich príkladov použijeme vetu 1.
a) 
6. Zovšeobecnenie 1. vety
Tu použité zovšeobecnenie:
7. Riešenie príkladov pomocou zovšeobecnenia 1. vety
8. Riešenie rôznych problémov pomocou 1. vety
Príklad 2: Vypočítajte (môžete použiť tabuľku základných mocnín).
A) 
(podľa tabuľky)
b) 
Príklad 3: Napíšte to ako mocninu so základom 2.
A) 
Príklad 4: Určite znamienko čísla:
, A - záporný, pretože exponent na -13 je nepárny.
Príklad 5: Nahraďte (·) mocninou čísla so základom r:
Máme, tzn.
9. Zhrnutie
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a iné Algebra 7. 6. vydanie. M.: Osveta. 2010
1. Školský asistent (Zdroj).
1. Prezentujte ako moc:
a) b) c) d) e) 
3. Napíšte ako mocninu so základom 2:
4. Určte znamienko čísla:
A) 
5. Nahraďte (·) mocninou čísla so základom r:
a) r4. (·) = r15; b) (·) · r5 = r6
Násobenie a delenie mocnín s rovnakými exponentmi
V tejto lekcii budeme študovať násobenie mocnín s rovnakými exponentmi. Najprv si pripomeňme základné definície a teorémy o násobení a delení mocnín s rovnakými základmi a zvyšovaní mocnín na mocniny. Potom sformulujeme a dokážeme vety o násobení a delení mocnín s rovnakými exponentmi. A potom s ich pomocou vyriešime množstvo typických problémov.
Pripomenutie základných definícií a teorémov
Tu a- základ diplomu,
— n mocnina čísla.
Veta 1. Pre akékoľvek číslo A a akékoľvek prírodné n A k rovnosť je pravdivá:
Pri násobení mocnín s rovnakými základmi sa exponenty sčítajú, základ zostáva nezmenený.
Veta 2. Pre akékoľvek číslo A a akékoľvek prírodné n A k, také že n > k rovnosť je pravdivá:
Pri delení stupňov s rovnakými základmi sa exponenty odčítajú, ale základ zostáva nezmenený.
Veta 3. Pre akékoľvek číslo A a akékoľvek prírodné n A k rovnosť je pravdivá:
Všetky uvedené vety sa týkali mocností s rovnakým dôvodov, v tejto lekcii sa pozrieme na stupne s rovnakým ukazovatele.
Príklady na násobenie mocnín s rovnakými exponentmi
Zvážte nasledujúce príklady:
Zapíšme si výrazy na určenie stupňa.
Záver: Z príkladov je to vidieť 
, ale to treba ešte dokázať. Sformulujme vetu a dokážme ju vo všeobecnom prípade, teda pre ľubovoľný A A b a akékoľvek prírodné n.
Formulácia a dôkaz 4. vety
Pre akékoľvek čísla A A b a akékoľvek prírodné n rovnosť je pravdivá:
Dôkaz Veta 4 .
Podľa definície stupňa:
Takže sme to dokázali .
Na vynásobenie mocnín s rovnakými exponentmi stačí vynásobiť základy a ponechať exponent nezmenený.
Formulácia a dôkaz 5. vety
Sformulujme vetu na delenie mocnín s rovnakými exponentmi.
Pre akékoľvek číslo A A b() a akékoľvek prírodné n rovnosť je pravdivá:
Dôkaz Veta 5 .
Zapíšme si definíciu stupňa:
Výrok viet v slovách
Takže sme to dokázali.
Na vzájomné rozdelenie mocnín s rovnakými exponentmi stačí rozdeliť jeden základ druhým a exponent ponechať nezmenený.
Riešenie typických problémov pomocou vety 4
Príklad 1: Prítomný ako produkt síl.
Na riešenie nasledujúcich príkladov použijeme vetu 4.
Ak chcete vyriešiť nasledujúci príklad, zapamätajte si vzorce:
Zovšeobecnenie vety 4
Zovšeobecnenie vety 4:
Riešenie príkladov pomocou zovšeobecnenej vety 4
Pokračovanie v riešení typických problémov
Príklad 2: Napíšte to ako silu produktu.
Príklad 3: Napíšte to ako mocninu s exponentom 2.
Príklady výpočtov
Príklad 4: Počítajte tým najracionálnejším spôsobom.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. a iné Algebra 7.M.: Osvietenstvo. 2006
2. Školský asistent (Zdroj).
1. Prítomný ako súčin síl:
A); b) ; V); G);
2. Napíšte ako mocninu súčinu:
3. Napíšte ako mocninu s exponentom 2:
4. Počítajte čo najracionálnejším spôsobom.
Hodina matematiky na tému „Násobenie a rozdelenie právomocí“
Sekcie: Matematika
Pedagogický cieľ:
Úlohy:
Vyučovacie jednotky: určenie stupňa s prirodzeným indikátorom; zložky stupňa; definícia súkromného; kombinačný zákon násobenia.
I. Organizovanie ukážky, ako žiaci ovládajú existujúce vedomosti. (krok 1)
a) Aktualizácia vedomostí:
2) Formulujte definíciu stupňa s prirodzeným exponentom.
a n =a a a a … a (n-krát)
b k =b b b b a… b (k-krát) Odpoveď zdôvodnite.
II. Organizácia sebahodnotenia stupňa znalosti študenta v aktuálnych skúsenostiach. (krok 2)
Autotest: (individuálna práca v dvoch verziách.)
A1) Prezentujte produkt 7 7 7 7 x x x ako silu:
A2) Predstavte výkon (-3) 3 x 2 ako produkt
A3) Vypočítajte: -2 3 2 + 4 5 3
Počet úloh v teste vyberám v súlade s prípravou úrovne triedy.
Dám vám kľúč k testu na autotest. Kritériá: vyhovieť – neprijať.
III. Edukačná a praktická úloha (3. krok) + krok 4. (vlastnosti si žiaci sformulujú sami)
Pri riešení úloh 1) a 2) žiaci navrhujú riešenie a ja ako učiteľ organizujem triedu, aby som našiel spôsob, ako zjednodušiť mocniny pri násobení s rovnakými základmi.
Učiteľ: vymyslite spôsob, ako zjednodušiť mocniny pri násobení s rovnakými základmi.
Na klastri sa zobrazí záznam:
Téma hodiny je formulovaná. Násobenie právomocí.
Učiteľ: vymyslite pravidlo na delenie mocností s rovnakými základmi.
Zdôvodnenie: aká akcia sa používa na kontrolu delenia? a 5: a 3 =? že a 2 a 3 = a 5
Vraciam sa k diagramu - zhluku a pridávam k zápisu - .. pri delení odčítavame a pridávame tému hodiny. ...a delenie stupňov.
IV. Komunikovať študentom hranice vedomostí (ako minimum a maximum).
Učiteľ: minimálnou úlohou dnešnej hodiny je naučiť sa aplikovať vlastnosti násobenia a delenia mocnín s rovnakými základmi a maximálnou úlohou je aplikovať násobenie a delenie spolu.
Píšeme na tabuľu : am a n = a m+n; a m: a n = a m-n
V. Organizácia štúdia nového materiálu. (krok 5)
a) Podľa učebnice: č. 403 (a, c, e) úlohy s rôznym znením
č. 404 (a, d, f) samostatná práca, potom zorganizujem vzájomnú kontrolu, dám kľúče.
b) Pre akú hodnotu m platí rovnosť? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Zadanie: vymyslite podobné príklady na delenie.
c) č. 417 písm. a), č. 418 písm. Pasce na študentov: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = a 2.
VI. Zhrnutie toho, čo ste sa naučili, vykonanie diagnostickej práce (ktorá povzbudzuje študentov, a nie učiteľa, aby si túto tému preštudovali) (krok 6)
Diagnostické práce.
Test(umiestnite kľúče na zadnú stranu cesta).
Možnosti úlohy: reprezentujte podiel x 15 ako mocninu: x 3; predstavujú ako mocninu súčin (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; pre ktoré m platí rovnosť a 16 a m = a 32? nájdite hodnotu výrazu h 0: h 2 pri h = 0,2; vypočítajte hodnotu výrazu (5 2 5 0) : 5 2 .
Zhrnutie lekcie. Reflexia. Triedu rozdelím na dve skupiny.
Nájdite argumenty v skupine I: v prospech poznania vlastností stupňa a skupine II - argumenty, ktoré povedia, že sa bez vlastností zaobídete. Vypočujeme si všetky odpovede a vyvodíme závery. V nasledujúcich lekciách môžete ponúknuť štatistické údaje a nazvať rubriku „To je neuveriteľné!“
VII. Domáce úlohy.
Historické informácie. Aké čísla sa nazývajú Fermatove čísla.
S.19. č. 403, č. 408, č. 417
Použitá literatúra:
Vlastnosti stupňov, formulácie, dôkazy, príklady.
Po určení sily čísla je logické o tom hovoriť stupňa vlastnosti. V tomto článku uvedieme základné vlastnosti mocniny čísla, pričom sa dotkneme všetkých možných exponentov. Tu poskytneme dôkazy o všetkých vlastnostiach stupňov a tiež ukážeme, ako sa tieto vlastnosti používajú pri riešení príkladov.
Navigácia na stránke.
Vlastnosti stupňov s prirodzenými exponentmi
Podľa definície mocniny s prirodzeným exponentom je mocnina a n súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Na základe tejto definície a tiež pomocou vlastnosti násobenia reálnych čísel, môžeme získať a zdôvodniť nasledovné vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom:
- ak a>0, potom a n>0 pre ľubovoľné prirodzené číslo n;
- ak a=0, potom an=0;
- ak a 2·m >0, ak a 2·m−1 n ;
- ak m a n sú prirodzené čísla také, že m>n, potom pre 0m n a pre a>0 platí nerovnosť a m >a n.
- a m · a n = a m+n;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b)n=an·bn;
- (a:b)n=an:bn;
- (a m) n = a m. n;
- ak n je kladné celé číslo, aab sú kladné čísla a a n n a a -n >b -n;
- ak m a n sú celé čísla a m>n, potom pre 0m n a pre a>1 platí nerovnosť a m >a n.
Hneď si všimnime, že všetky písané rovnosti sú identické za stanovených podmienok je možné zameniť ich pravú a ľavú časť. Napríklad hlavná vlastnosť zlomku a m ·a n =a m+n s zjednodušujúce výrazyčasto používané v tvare a m+n =a m ·a n .
Teraz sa pozrime na každý z nich podrobne.
Začnime vlastnosťou súčinu dvoch mocnín s rovnakými základmi, ktorá je tzv hlavná vlastnosť stupňa: pre ľubovoľné reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n platí rovnosť a m ·a n =a m+n.
Dokážme hlavnú vlastnosť stupňa. Pri definícii mocniny s prirodzeným exponentom možno súčin mocniny s identickými základmi tvaru a m ·a n zapísať ako súčin. 
. Vďaka vlastnostiam násobenia možno výsledný výraz zapísať ako 
a tento súčin je mocninou čísla a s prirodzeným exponentom m+n, teda a m+n. Tým je dôkaz hotový.
Uveďme príklad potvrdzujúci hlavnú vlastnosť stupňa. Zoberme stupne s rovnakými základmi 2 a prirodzenými mocnosťami 2 a 3, pomocou základnej vlastnosti stupňov môžeme zapísať rovnosť 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Overme si jeho platnosť výpočtom hodnôt výrazov 2 2 · 2 3 a 2 5 . Po vykonaní umocňovania máme 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 a 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32, keďže dostaneme rovnaké hodnoty, potom rovnosť 2 2 ·2 3 = 2 5 je správne a potvrdzuje hlavnú vlastnosť stupňa.
Základnú vlastnosť stupňa, založenú na vlastnostiach násobenia, možno zovšeobecniť na súčin troch alebo viacerých mocnín s rovnakými bázami a prirodzenými exponentmi. Takže pre ľubovoľný počet k prirodzených čísel n 1 , n 2 , …, n k platí rovnosť a n 1 ·a n 2 ·...·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Napríklad (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Môžeme prejsť na ďalšiu vlastnosť mocniny s prirodzeným exponentom – vlastnosť kvocientových mocnín s rovnakými základmi: pre ľubovoľné nenulové reálne číslo a a ľubovoľné prirodzené čísla m a n spĺňajúce podmienku m>n platí rovnosť a m:a n =a m−n.
Pred predložením dôkazu tejto vlastnosti diskutujme o význame dodatočných podmienok vo formulácii. Podmienka a≠0 je nevyhnutná, aby sme sa vyhli deleniu nulou, keďže 0 n = 0, a keď sme sa s delením oboznámili, zhodli sme sa, že nulou deliť nemôžeme. Podmienka m>n je zavedená preto, aby sme neprekročili prirodzené exponenty. Pre m>n je exponent a m−n prirodzené číslo, inak bude buď nula (čo sa stane pre m−n) alebo záporné číslo (čo sa stane pre m m−n ·a n =a (m−n) +n =a m Z výslednej rovnosti a m−n ·a n =a m a zo spojenia medzi násobením a delením vyplýva, že a m−n je podiel mocnín a m a a n To dokazuje vlastnosť podielov mocnin s rovnaké základy.
Uveďme si príklad. Zoberme si dva stupne s rovnakými základňami π a prirodzenými exponentmi 5 a 2, rovnosť π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 zodpovedá uvažovanej vlastnosti stupňa.
Teraz uvažujme výkonová vlastnosť produktu: prirodzená mocnina n súčinu ľubovoľných dvoch reálnych čísel a a b sa rovná súčinu mocnín a n a b n , teda (a·b) n =a n ·b n .
Podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom máme 
. Na základe vlastností násobenia možno posledný súčin prepísať ako 
, čo sa rovná a n · b n .
Tu je príklad: 
.
Táto vlastnosť sa rozširuje na silu súčinu troch alebo viacerých faktorov. To znamená, že vlastnosť prirodzeného stupňa n súčinu k faktorov sa zapíše ako (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·...·a k n .
Pre názornosť si túto vlastnosť ukážeme na príklade. Pre súčin troch faktorov na mocninu 7 máme .
Nasledujúca vlastnosť je vlastnosť naturálneho kvocientu: podiel reálnych čísel a a b, b≠0 k prirodzenému mocninu n sa rovná podielu mocnín a n a b n, teda (a:b) n =a n:b n.
Dôkaz je možné vykonať pomocou predchádzajúcej vlastnosti. Takže (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n a z rovnosti (a:b) n ·b n =a n vyplýva, že (a:b) n je kvocient delenie a n na bn.
Napíšme túto vlastnosť pomocou konkrétnych čísel ako príklad: 
.
Teraz to vyjadrime vlastnosť povýšiť moc na moc: pre ľubovoľné reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n sa mocnina a m na n rovná mocnine čísla a s exponentom m·n, teda (a m) n =a m·n.
Napríklad (5 2) 3 = 5 2·3 = 5 6.
Dôkazom vlastnosti power-to-degree je nasledujúci reťazec rovnosti: 
.
Uvažovaná vlastnosť môže byť rozšírená zo stupňa na stupeň atď. Napríklad pre akékoľvek prirodzené čísla p, q, r a s je rovnosť 
. Pre lepšiu názornosť uveďme príklad s konkrétnymi číslami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.
Zostáva sa pozastaviť nad vlastnosťami porovnávania stupňov s prirodzeným exponentom.
Začnime dôkazom vlastnosti porovnávania nuly a mocniny s prirodzeným exponentom.
Najprv dokážme, že a n >0 pre ľubovoľné a>0.
Súčin dvoch kladných čísel je kladné číslo, ako vyplýva z definície násobenia. Táto skutočnosť a vlastnosti násobenia naznačujú, že výsledkom násobenia ľubovoľného počtu kladných čísel bude aj kladné číslo. A mocnina čísla a s prirodzeným exponentom n je podľa definície súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Tieto argumenty nám umožňujú konštatovať, že pre akúkoľvek kladnú bázu a je stupeň a n kladné číslo. Vzhľadom na preukázanú vlastnosť 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 a 
.
Je celkom zrejmé, že pre každé kladné celé číslo n s a=0 je stupeň a n nulový. Skutočne, 0 n = 0 · 0 · ... · 0 = 0. Napríklad 0 3 = 0 a 0 762 = 0.
Prejdime k záporným základom stupňa.
Začnime prípadom, keď je exponent párne číslo, označme ho ako 2·m, kde m je prirodzené číslo. Potom 
. Podľa pravidla pre násobenie záporných čísel sa každý zo súčinov tvaru a·a rovná súčinu absolútnych hodnôt čísel a a a, čo znamená, že ide o kladné číslo. Preto bude produkt tiež pozitívny 
a stupeň a 2·m. Uveďme príklady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 a .
Nakoniec, keď základ a je záporné číslo a exponent je nepárne číslo 2 m−1, potom 
. Všetky súčiny a·a sú kladné čísla, súčin týchto kladných čísel je tiež kladný a jeho vynásobením zvyšným záporným číslom a vznikne záporné číslo. Vďaka tejto vlastnosti (−5) 3 17 n n je súčin ľavej a pravej strany n skutočných nerovností a vlastnosti nerovníc, platí aj dokázateľná nerovnosť tvaru a n n. Napríklad vďaka tejto vlastnosti sú nerovnosti 3 7 7 a 
.
Zostáva dokázať poslednú z uvedených vlastností mocnín s prirodzenými exponentmi. Poďme to sformulovať. Z dvoch mocnín s prirodzenými exponentmi a rovnakými kladnými základmi menšími ako jedna je tá, ktorej exponent je menší, väčšia; a z dvoch mocnín s prirodzenými exponentmi a rovnakými základňami väčšími ako jedna je tá, ktorej exponent je väčší, väčšia. Prejdime k dôkazu tejto vlastnosti.
Dokážme, že pre m>n a 0m n . Za týmto účelom zapíšeme rozdiel a m − a n a porovnáme ho s nulou. Zaznamenaný rozdiel po vybratí a n zo zátvoriek bude mať tvar a n ·(a m−n−1) . Výsledný súčin je záporný ako súčin kladného čísla a n a záporného čísla a m−n −1 (a n je kladné ako prirodzená mocnina kladného čísla a rozdiel a m−n −1 je záporný, pretože m−n >0 kvôli počiatočnej podmienke m>n, z čoho vyplýva, že keď 0m−n je menšie ako jedna). Preto a m −a n m n , čo bolo potrebné dokázať. Ako príklad uvádzame správnu nerovnosť.
Zostáva preukázať druhú časť majetku. Dokážme, že pre m>n a a>1 platí a m >a n. Rozdiel a m −a n po vybratí a n zo zátvoriek nadobúda tvar a n ·(a m−n −1) . Tento súčin je kladný, pretože pre a>1 je stupeň a n kladné číslo a rozdiel a m−n −1 je kladné číslo, keďže m−n>0 je výsledkom počiatočnej podmienky a pre a>1 je stupeň a m−n je väčšie ako jedna . V dôsledku toho a m −a n > 0 a a m > a n , čo bolo potrebné dokázať. Táto vlastnosť je znázornená nerovnosťou 3 7 > 3 2.
Vlastnosti mocnin s celočíselnými exponentmi
Keďže kladné celé čísla sú prirodzené čísla, potom sa všetky vlastnosti mocnín s kladnými celočíselnými exponentmi presne zhodujú s vlastnosťami mocnín s prirodzenými exponentmi uvedenými a dokázanými v predchádzajúcom odseku.
Stupeň s celočíselným záporným exponentom, ako aj stupeň s nulovým exponentom sme definovali tak, že všetky vlastnosti stupňov s prirodzenými exponentmi, vyjadrené rovnosťami, zostali v platnosti. Preto všetky tieto vlastnosti platia pre nulové aj záporné exponenty, pričom základ mocnin sa samozrejme líši od nuly.
Takže pre všetky reálne a nenulové čísla a a b, ako aj pre všetky celé čísla m a n, platí nasledovné: vlastnosti mocnin s celočíselnými exponentmi:
Keď a=0, mocniny a m a a n dávajú zmysel iba vtedy, keď m aj n sú kladné celé čísla, teda prirodzené čísla. Práve napísané vlastnosti teda platia aj pre prípady, keď a=0 a čísla m a n sú kladné celé čísla.
Dokázanie každej z týchto vlastností nie je ťažké, stačí použiť definície stupňov s prirodzenými a celočíselnými exponentmi, ako aj vlastnosti operácií s reálnymi číslami. Ako príklad ukážme, že vlastnosť mocnina platí pre kladné aj záporné celé čísla. Aby ste to dosiahli, musíte ukázať, že ak p je nula alebo prirodzené číslo a q je nula alebo prirodzené číslo, potom rovnosti (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p) −q =a p·(−q) a (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Poďme na to.
Pre kladné p a q bola v predchádzajúcom odseku dokázaná rovnosť (a p) q =a p·q. Ak p=0, potom máme (a 0) q =1 q =1 a a 0·q =a 0 =1, odkiaľ (a 0) q =a 0·q. Podobne, ak q=0, potom (a p) 0 = 1 a a p·0 = a 0 = 1, odkiaľ (a p) 0 = a p·0. Ak p=0 aj q=0, potom (a 0) 0 = 1 0 = 1 a a 0,0 = a 0 = 1, odkiaľ (a 0) 0 = a 0,0.
Teraz dokážeme, že (a −p) q =a (−p)·q . Podľa definície mocniny so záporným exponentom celého čísla 
. Vlastnosťou podielov k mocninám, ktoré máme 
. Pretože 1 p =1·1·…·1=1 a , potom . Posledným výrazom je podľa definície mocnina tvaru a −(p·q), ktorú možno vzhľadom na pravidlá násobenia zapísať ako (−p)·q.
Podobne 
.
A 
.
Pomocou rovnakého princípu môžete dokázať všetky ostatné vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom, zapísaným vo forme rovnosti.
V predposlednej zo zaznamenaných vlastností sa oplatí pozastaviť sa nad dôkazom nerovnosti a −n >b −n, ktorý platí pre akékoľvek záporné celé číslo −n a každé kladné číslo a a b, pre ktoré je splnená podmienka a . Zapíšme si a transformujme rozdiel medzi ľavou a pravou stranou tejto nerovnosti: 
. Keďže podľa podmienky a n n , teda b n −a n >0 . Súčin a n · b n je tiež kladný ako súčin kladných čísel a n a b n . Potom je výsledný zlomok kladný ako podiel kladných čísel b n −a n a a n ·b n . Preto a −n >b −n , čo bolo potrebné dokázať.
Posledná vlastnosť mocnín s celočíselnými exponentmi sa dokazuje rovnako ako podobná vlastnosť mocnín s prirodzenými exponentmi.
Vlastnosti mocnin s racionálnymi exponentmi
Stupeň s zlomkovým exponentom sme definovali rozšírením vlastností stupňa o celočíselný exponent. Inými slovami, mocniny so zlomkovými exponentmi majú rovnaké vlastnosti ako mocniny s celočíselnými exponentmi. menovite:
- vlastnosť súčinu mocnín s rovnakými základmi
pre a>0, a ak a, potom pre a>0; - vlastnosť kvocientových mocnín s rovnakými základmi
pre a>0; - vlastnosť produktu na zlomkovú mocninu
pre a>0 a b>0, a ak a, potom pre a>0 a (alebo) b>0; - vlastnosť kvocientu k zlomkovej mocnine
pre a>0 a b>0, a ak , potom pre a>0 a b>0; - vlastnosť stupňa od stupňa
pre a>0, a ak a, potom pre a>0; - vlastnosť porovnávania mocnín s rovnakými racionálnymi exponentmi: pre ľubovoľné kladné čísla a a b platí a 0 je nerovnosť a p p pravdivá a pre p p >b p ;
- vlastnosť porovnávania mocnín s racionálnymi exponentmi a rovnakými základmi: pre racionálne čísla p a q, p>q pre 0p q a pre a>0 – nerovnosť a p >a q.
- ap·aq=ap+q;
- a p:a q =a p-q;
- (a.b)p=ap.bp;
- (a:b)p=ap:bp;
- (a p) q = a p-q;
- pre všetky kladné čísla a a b, a 0 je nerovnosť a p p pravdivá a pre p p >b p ;
- pre iracionálne čísla p a q, p>q pre 0p q a pre a>0 – nerovnosť a p >a q.
Dôkaz vlastností mocnín so zlomkovými exponentmi je založený na definícii mocniny s zlomkovým exponentom, na vlastnostiach aritmetického odmocniny n-tého stupňa a na vlastnostiach mocniny s celočíselným exponentom. Poskytnime dôkazy.
Podľa definície mocniny so zlomkovým exponentom a , potom 
. Vlastnosti aritmetického koreňa nám umožňujú zapísať nasledujúce rovnosti. Ďalej pomocou vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom dostaneme , z čoho podľa definície stupňa s zlomkovým exponentom máme 
, a ukazovateľ získaného stupňa možno transformovať takto: . Tým je dôkaz hotový.
Druhá vlastnosť mocnín so zlomkovými exponentmi sa dokazuje úplne podobným spôsobom: 
Zostávajúce rovnosti sú dokázané pomocou podobných princípov: 
Prejdime k dokazovaniu ďalšej vlastnosti. Dokážme, že pre každé kladné a a b, a 0 je nerovnosť a p p pravdivá a pre p p >b p . Napíšme racionálne číslo p ako m/n, kde m je celé číslo a n je prirodzené číslo. Podmienky p 0 v tomto prípade budú ekvivalentné podmienkam m 0, resp. Pre m>0 a am m . Z tejto nerovnosti podľa vlastnosti koreňov máme, a keďže a a b sú kladné čísla, potom na základe definície stupňa s zlomkovým exponentom možno výslednú nerovnosť prepísať ako a p p .
Podobne pre m m >b m, odkiaľ, teda ap >bp.
Zostáva preukázať poslednú z uvedených vlastností. Dokážme, že pre racionálne čísla p a q platí p>q pre 0p q a pre a>0 – nerovnosť a p >a q. Racionálne čísla p a q môžeme vždy zredukovať na spoločného menovateľa, aj keď dostaneme obyčajné zlomky a , kde m 1 a m 2 sú celé čísla a n je prirodzené číslo. V tomto prípade bude podmienke p>q zodpovedať podmienka m 1 >m 2, ktorá vyplýva z pravidla pre porovnávanie obyčajných zlomkov s rovnakými menovateľmi. Potom vlastnosťou porovnania stupňov s rovnakými bázami a prirodzenými exponentmi pre 0m 1 m 2 a pre a> 1 nerovnosť a m 1 > a m 2. Tieto nerovnosti vo vlastnostiach koreňov možno podľa toho prepísať ako 
A 
. A definícia stupňa s racionálnym exponentom nám umožňuje prejsť k nerovnostiam a podľa toho. Odtiaľto vyvodíme konečný záver: pre p>q a 0p q a pre a>0 – nerovnosť a p >a q .
Vlastnosti mocnin s iracionálnymi exponentmi
Zo spôsobu, akým je definovaný stupeň s iracionálnym exponentom, môžeme usúdiť, že má všetky vlastnosti stupňov s racionálnym exponentom. Takže pre akékoľvek a>0, b>0 a iracionálne čísla p a q platí nasledovné vlastnosti mocnin s iracionálnymi exponentmi:
Z toho môžeme usúdiť, že mocniny s ľubovoľnými reálnymi exponentmi p a q pre a>0 majú rovnaké vlastnosti.
- Algebra - 10. ročník. Goniometrické rovnice Lekcia a prezentácia na tému: "Riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc" Ďalšie materiály Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje pripomienky, recenzie, návrhy! Všetky materiály […]
- Bola vyhlásená súťaž na pozíciu „PREDAJCA – KONZULTANT“: Náplň práce: predaj mobilných telefónov a príslušenstva pre mobilnú komunikáciu, zákaznícky servis pre účastníkov Beeline, Tele2, MTS, pripojenie tarifných programov a služieb Beeline a Tele2, poradenstvo MTS [… ]
- Rovnobežník Rovnobežník je mnohosten so 6 stranami, z ktorých každá je rovnobežník. Kváder je rovnobežnosten, ktorého každá strana je obdĺžnik. Každý rovnobežnosten sa vyznačuje 3 […]
- Prijať zákon o rodinných domoch Prijať federálny zákon o bezodplatnom pridelení pozemku každému ochotnému občanovi Ruskej federácie alebo rodine občanov na výstavbu rodinného majetku na ňom za týchto podmienok: 1. Pozemok je pridelené na […]
- Spoločnosť na ochranu práv spotrebiteľov Astana Ak chcete získať PIN kód pre prístup k tomuto dokumentu na našej webovej stránke, pošlite SMS správu s textom zan na číslo Predplatitelia GSM operátorov (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) do odoslanie SMS na číslo, […]
- KONTROLA GOSTEKHNADZOR BRYANSKÉHO KRAJA Potvrdenie o zaplatení štátnej dane (Stiahnuť-12,2 kb) Žiadosti o registráciu pre fyzické osoby (Stiahnuť-12 kb) Žiadosti o registráciu pre právnické osoby (Stiahnuť-11,4 kb) 1. Pri registrácii nového vozidla: 1.žiadosť 2.pas […]
- PRAVOPIS N A NN V RÔZNYCH ČASTIACH REČI S.G.ZELINSKAYA DIDAKTICKÝ MATERIÁL Teoretické cvičenie 1. Kedy sa v prídavných menách píše nn? 2. Vymenujte výnimky z týchto pravidiel. 3. Ako rozlíšiť slovesné prídavné meno s príponou -n- od príčastia s […]
- Pivoev V.M. Filozofia a metodológia vedy: učebnica pre magisterských a postgraduálnych študentov Petrozavodsk: Vydavateľstvo PetrSU, 2013. - 320 s. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Učebnica je určená pre študentov vyšších ročníkov, magisterských a postgraduálnych študentov sociálnych a […]
Prečo sú potrebné tituly?
Kde ich budete potrebovať?
Prečo by ste si mali nájsť čas na ich štúdium?
Ak chcete zistiť VŠETKO O STUPŇOCH, prečítajte si tento článok.
A, samozrejme, znalosť titulov vás priblíži k úspešnému absolvovaniu jednotnej štátnej skúšky.
A k prijatiu na univerzitu vašich snov!
Poďme... (Poďme!)
VSTUPNÁ ÚROVEŇ
Umocňovanie je matematická operácia rovnako ako sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie.
Teraz všetko vysvetlím ľudskou rečou na veľmi jednoduchých príkladoch. Buďte opatrní. Príklady sú elementárne, ale vysvetľujú dôležité veci.
Začnime s pridávaním.
Tu nie je čo vysvetľovať. Už viete všetko: je nás osem. Každý má dve fľaše koly. Koľko je tam koly? Správne - 16 fliaš.
Teraz násobenie.
Rovnaký príklad s kolou môže byť napísaný inak: . Matematici sú prefíkaní a leniví ľudia. Najprv si všimnú nejaké vzory a potom prídu na spôsob, ako ich rýchlejšie „spočítať“. V našom prípade si všimli, že každý z ôsmich ľudí má rovnaký počet kolových fliaš a prišli s technikou zvanou násobenie. Súhlasíte, považuje sa to za jednoduchšie a rýchlejšie ako.
Aby ste teda počítali rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb, stačí si zapamätať násobilku. Samozrejme, všetko sa dá robiť pomalšie, náročnejšie a s chybami! Ale…
Tu je tabuľka násobenia. Opakujte.
A ešte jeden, krajší:
Aké ďalšie šikovné počítacie triky vymysleli leniví matematici? Správne - zvýšenie čísla na mocninu.
Zvýšenie čísla na mocnosť
Ak potrebujete vynásobiť číslo päťkrát, potom matematici hovoria, že toto číslo musíte zvýšiť na piatu mocninu. Napríklad . Matematici si pamätajú, že dve až piata mocnina je... A takéto problémy riešia v hlave – rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb.
Všetko, čo musíte urobiť, je zapamätajte si, čo je farebne zvýraznené v tabuľke mocnin čísel. Verte mi, toto vám výrazne uľahčí život.
Mimochodom, prečo sa tomu hovorí druhý stupeň? štvorecčísla a tretie - kocka? čo to znamená Veľmi dobrá otázka. Teraz budete mať štvorce aj kocky.
Príklad zo skutočného života číslo 1
Začnime druhou mocninou čísla.
Predstavte si štvorcový bazén s rozmermi jeden meter krát jeden meter. Bazén je na vašej chate. Je horúco a ja si chcem naozaj zaplávať. Ale... bazén nemá dno! Dno bazéna musíte obložiť dlaždicami. Koľko dlaždíc potrebujete? Aby ste to mohli určiť, musíte poznať spodnú časť bazéna.
Ukázaním prsta si jednoducho vypočítate, že dno bazéna pozostáva z kociek meter po metri. Ak máte dlaždice meter krát meter, budete potrebovať kusy. Je to jednoduché... Ale kde ste už také obklady videli? Dlaždica bude s najväčšou pravdepodobnosťou cm krát cm a potom vás bude mučiť „počítanie prstom“. Potom sa musíte množiť. Takže na jednu stranu dna bazéna osadíme dlažbu (kusy) a na druhú tiež dlažbu. Vynásobte a dostanete dlaždice ().
Všimli ste si, že na určenie plochy dna bazéna sme rovnaké číslo vynásobili sami? čo to znamená Keďže násobíme rovnaké číslo, môžeme použiť techniku „umocňovania“. (Samozrejme, keď máte len dve čísla, musíte ich ešte vynásobiť alebo umocniť na mocninu. Ak ich však máte veľa, potom je umocnenie oveľa jednoduchšie a vo výpočtoch je tiež menej chýb Pre jednotnú štátnu skúšku je to veľmi dôležité).
Takže tridsať na druhú mocninu bude (). Alebo môžeme povedať, že tridsať štvorcových bude. Inými slovami, druhá mocnina čísla môže byť vždy reprezentovaná ako štvorec. A naopak, ak vidíte štvorec, je to VŽDY druhá mocnina nejakého čísla. Štvorec je obrazom druhej mocniny čísla.
Príklad zo života #2
Tu je úloha pre vás: spočítajte, koľko polí je na šachovnici pomocou druhej mocniny čísla... Na jednej a druhej strane buniek. Ak chcete vypočítať ich počet, musíte vynásobiť osem ôsmimi alebo... ak si všimnete, že šachovnica je štvorec so stranou, potom môžete odmocniť osem. Získate bunky. () Takže?
Príklad zo života číslo 3
Teraz kocka alebo tretia mocnina čísla. Ten istý bazén. Teraz však musíte zistiť, koľko vody bude potrebné naliať do tohto bazéna. Musíte vypočítať objem. (Mimochodom, objemy a kvapaliny sa merajú v kubických metroch. Nečakané, však?) Nakreslite bazén: dno má veľkosť meter a hĺbku meter a skúste vypočítať, koľko kociek s rozmermi meter krát meter bude hodí sa do vášho bazéna.
Stačí ukázať prstom a počítať! Jeden, dva, tri, štyri...dvadsaťdva, dvadsaťtri...Koľko ste dostali? Nestratili ste sa? Je ťažké počítať prstom? To je všetko! Vezmite si príklad od matematikov. Sú leniví, a tak si všimli, že na výpočet objemu bazéna je potrebné navzájom vynásobiť jeho dĺžku, šírku a výšku. V našom prípade sa objem bazéna bude rovnať kockám... Jednoduchšie, však?
Teraz si predstavte, akí leniví a prefíkaní sú matematici, ak zjednodušia aj toto. Všetko sme zredukovali na jednu akciu. Všimli si, že dĺžka, šírka a výška sú rovnaké a že rovnaké číslo sa samo násobí... Čo to znamená? To znamená, že môžete využiť titul. Takže to, čo ste kedysi spočítali prstom, urobia pri jednej akcii: tri kocky sa rovnajú. Píše sa to takto: .
Zostáva len pamätajte na tabuľku stupňov. Ak, samozrejme, nie ste leniví a prefíkaní ako matematici. Ak radi tvrdo pracujete a robíte chyby, môžete ďalej počítať prstom.
Aby som vás konečne presvedčil, že tituly vymysleli tí, čo sa vzdávajú, a prefíkaní ľudia, aby riešili svoje životné problémy a nie aby vám robili problémy, tu je ešte pár príkladov zo života.
Príklad zo skutočného života #4
Máte milión rubľov. Na začiatku každého roka za každý zarobený milión zarobíte ďalší milión. To znamená, že každý milión, ktorý máte, sa na začiatku každého roka zdvojnásobuje. Koľko peňazí budete mať za roky? Ak teraz sedíte a „počítate prstom“, potom ste veľmi pracovitý človek a... hlúpy. Ale s najväčšou pravdepodobnosťou odpoviete za pár sekúnd, pretože ste šikovný! Takže v prvom roku - dva vynásobené dvoma... v druhom roku - čo sa stalo, o dva viac, v treťom roku... Stop! Všimli ste si, že číslo sa násobí krát. Takže dve ku piatej mocnine je milión! Teraz si predstavte, že máte súťaž a ten, kto vie počítať najrýchlejšie, získa tieto milióny... Stojí za to pripomenúť si silu čísel, nemyslíte?
Príklad zo skutočného života číslo 5
Máte milión. Na začiatku každého roka za každý zarobený milión zarobíte dva ďalšie. Skvelé nie? Každý milión sa strojnásobí. Koľko peňazí budete mať za rok? Poďme počítať. Prvý rok - vynásobte, potom výsledok ďalším... Už je to nudné, pretože ste už všetko pochopili: tri sa násobí krát. Takže na štvrtú mocninu sa to rovná miliónu. Len si treba uvedomiť, že tri až štvrtá mocnina je alebo.
Teraz už viete, že zvýšením čísla na moc si uľahčíte život. Pozrime sa ďalej na to, čo môžete robiť s titulmi a čo o nich potrebujete vedieť.
Pojmy a pojmy... aby ste sa neplietli
Najprv si teda definujme pojmy. Myslíte si? čo je exponent? Je to veľmi jednoduché – je to číslo, ktoré je „na vrchole“ mocniny čísla. Nie je to vedecké, ale jasné a ľahko zapamätateľné...
No zároveň čo takýto diplomový základ? Ešte jednoduchšie - toto je číslo, ktoré sa nachádza nižšie, na základni.
Tu je nákres pre dobrú mieru.
No, vo všeobecnosti, aby sme si to lepšie zovšeobecnili a zapamätali... Titul so základom „ “ a exponentom „ “ sa číta ako „do stupňa“ a píše sa takto:
Mocnina čísla s prirodzeným exponentom
Pravdepodobne ste už uhádli: pretože exponent je prirodzené číslo. Áno, ale čo to je prirodzené číslo? Základné! Prirodzené čísla sú tie čísla, ktoré sa používajú pri počítaní pri uvádzaní predmetov: jeden, dva, tri... Keď počítame predmety, nehovoríme: „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“. Tiež nehovoríme: „jedna tretina“ alebo „nula päť“. Toto nie sú prirodzené čísla. Čo myslíte, aké čísla sú to?
Čísla ako „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“ označujú celé čísla. Vo všeobecnosti celé čísla zahŕňajú všetky prirodzené čísla, čísla opačné k prirodzeným číslam (t. j. brané so znamienkom mínus) a číslo. Nula je ľahko pochopiteľná - je to vtedy, keď nič nie je. Čo znamenajú záporné („mínusové“) čísla? Boli však vynájdené predovšetkým na označenie dlhov: ak máte na telefóne zostatok v rubľoch, znamená to, že dlhujete operátorovi v rubľoch.
Všetky zlomky sú racionálne čísla. Ako vznikli, čo myslíte? Veľmi jednoduché. Pred niekoľkými tisíckami rokov naši predkovia zistili, že im chýbajú prirodzené čísla na meranie dĺžky, hmotnosti, plochy atď. A prišli na to racionálne čísla... Zaujímavé, nie?
Existujú aj iracionálne čísla. Aké sú tieto čísla? Stručne povedané, je to nekonečný desatinný zlomok. Ak napríklad vydelíte obvod kruhu jeho priemerom, dostanete iracionálne číslo.
Pokračovať:
Definujme pojem stupňa, ktorého exponent je prirodzené číslo (t. j. celé číslo a kladné číslo).
- Akékoľvek číslo s prvou mocninou sa rovná samému sebe:
- Odmocniť číslo znamená vynásobiť ho samo sebou:
- Kockovať číslo znamená vynásobiť ho trikrát:
Definícia. Zvýšenie čísla na prirodzenú mocnosť znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:
.
Vlastnosti stupňov
Odkiaľ sa tieto vlastnosti vzali? Teraz ti to ukážem.
Pozrime sa: čo to je A ?
Podľa definície:
Koľko násobiteľov je celkovo?
Je to veľmi jednoduché: k faktorom sme pridali multiplikátory a výsledkom sú multiplikátory.
Ale podľa definície ide o mocninu čísla s exponentom, teda: , čo je potrebné dokázať.
Príklad: Zjednodušte výraz.
Riešenie:
Príklad: Zjednodušte výraz.
Riešenie: Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle Nevyhnutne musia byť rovnaké dôvody!
Preto kombinujeme sily so základňou, ale zostáva to samostatný faktor:
len pre súčin síl!
To v žiadnom prípade nemôžete napísať.
2. to je všetko mocnina čísla
Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, vráťme sa k definícii stupňa:
Ukazuje sa, že výraz sa násobí sám o sebe krát, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:
V podstate to možno nazvať „vytiahnutím indikátora zo zátvoriek“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:
Spomeňme si na skrátené vzorce na násobenie: koľkokrát sme chceli písať?
Ale to predsa nie je pravda.
Výkon so zápornou bázou
Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, aký by mal byť exponent.
Čo by však malo byť základom?
V právomociach prirodzený indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo. V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek čísla, či už sú kladné, záporné alebo párne.
Zamyslime sa nad tým, ktoré znamienka ("" alebo "") budú mať mocniny kladných a záporných čísel?
Napríklad, je číslo kladné alebo záporné? A? ? Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.
Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Pamätáme si jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus za mínus dáva plus“. Teda, resp. Ale ak vynásobíme, funguje to.
Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Zvládli ste to?
Tu sú odpovede: Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.
V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: napokon nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny.
Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).
Príklad 6) už nie je taký jednoduchý!
6 príkladov na precvičenie
Rozbor riešenia 6 príkladov
Celý nazývame prirodzené čísla, ich protiklady (t. j. brané so znamienkom " ") a číslo.
kladné celé číslo, a nelíši sa od prirodzeného, potom všetko vyzerá presne ako v predchádzajúcej časti.
Teraz sa pozrime na nové prípady. Začnime s ukazovateľom rovným.
Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej:
Ako vždy, položme si otázku: prečo je to tak?
Uvažujme nejaký stupeň so základňou. Vezmite si napríklad a vynásobte:
Takže sme číslo vynásobili a dostali sme to isté, čo bolo - . Akým číslom vynásobiť, aby sa nič nezmenilo? Presne tak, tak. Prostriedky.
To isté môžeme urobiť s ľubovoľným číslom:
Zopakujme si pravidlo:
Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej.
Existujú však výnimky z mnohých pravidiel. A tu je to tiež tam - toto je číslo (ako základ).
Na jednej strane sa musí rovnať akýmkoľvek stupňom – akokoľvek vynásobíte nulu samým sebou, stále dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhej strane, ako každé číslo s nulovou mocninou, musí sa rovnať. Koľko z toho je teda pravda? Matematici sa rozhodli nezasahovať a odmietli zvýšiť nulu na nulovú mocninu. To znamená, že teraz nemôžeme nielen deliť nulou, ale aj zvýšiť na nulovú mocninu.
Poďme ďalej. Okrem prirodzených čísel a čísel zahŕňajú celé čísla aj záporné čísla. Aby sme pochopili, čo je záporná mocnina, urobme ako naposledy: vynásobte nejaké normálne číslo rovnakým číslom na zápornú mocninu:
Odtiaľto je ľahké vyjadriť, čo hľadáte:
Teraz rozšírme výsledné pravidlo na ľubovoľnú mieru:
Sformulujme teda pravidlo:
Číslo so zápornou mocninou je prevrátená hodnota rovnakého čísla s kladnou mocninou. Ale zároveň Základ nemôže byť nulový:(pretože nemôžete deliť).
Poďme si to zhrnúť:
Úlohy na samostatné riešenie:
Ako obvykle, príklady nezávislých riešení:
Analýza problémov pre samostatné riešenie:
Viem, viem, čísla sú desivé, ale na Jednotnej štátnej skúške musíte byť pripravení na všetko! Vyriešte tieto príklady alebo analyzujte ich riešenia, ak ste ich nedokázali vyriešiť, a na skúške sa s nimi ľahko naučíte!
Pokračujme v rozširovaní rozsahu čísel „vhodných“ ako exponent.
Teraz uvažujme racionálne čísla. Aké čísla sa nazývajú racionálne?
Odpoveď: všetko, čo môže byť reprezentované ako zlomok, kde a sú celé čísla a.
Aby ste pochopili, čo to je "zlomkový stupeň", zvážte zlomok:
Uveďme obe strany rovnice na mocninu:
Teraz si spomeňme na pravidlo o "od stupňa k stupňu":
Aké číslo je potrebné zvýšiť na mocninu, aby ste získali?
Táto formulácia je definíciou koreňa t. stupňa.
Dovoľte mi pripomenúť: odmocnina tej mocniny čísla () je číslo, ktoré sa po umocnení rovná.
To znamená, že koreň tej mocniny je inverzná operácia zvýšenia na mocninu: .
Ukazuje sa, že. Je zrejmé, že tento špeciálny prípad možno rozšíriť: .
Teraz pridáme čitateľa: čo to je? Odpoveď je ľahké získať pomocou pravidla výkonu na výkon:
Ale môže byť základom akékoľvek číslo? Koniec koncov, koreň nemožno extrahovať zo všetkých čísel.
Žiadne!
Pamätajme na pravidlo: každé číslo umocnené na párnu mocninu je kladné číslo. To znamená, že nie je možné extrahovať párne korene zo záporných čísel!
To znamená, že takéto čísla nemožno zvýšiť na zlomkovú mocninu s párnym menovateľom, to znamená, že výraz nedáva zmysel.
A čo výraz?
Tu však nastáva problém.
Číslo môže byť reprezentované vo forme iných, redukovateľných zlomkov, napr.
A ukáže sa, že existuje, ale neexistuje, ale sú to len dva rôzne záznamy rovnakého čísla.
Alebo iný príklad: raz, potom si to môžete zapísať. Ak si ale ukazovateľ zapíšeme inak, opäť sa dostaneme do problémov: (teda dostali sme úplne iný výsledok!).
Aby sme sa vyhli takýmto paradoxom, uvažujeme iba kladný základný exponent so zlomkovým exponentom.
Takže ak:
- — prirodzené číslo;
- - celé číslo;
Príklady:
Racionálne exponenty sú veľmi užitočné pri transformácii výrazov s koreňmi, napríklad:
5 príkladov na precvičenie
Rozbor 5 príkladov na tréning
No a teraz prichádza tá najťažšia časť. Teraz na to prídeme stupňa s iracionálnym exponentom.
Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou
Koniec koncov, iracionálne čísla sú podľa definície čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (to znamená, že iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).
Pri štúdiu titulov s prirodzenými, celočíselnými a racionálnymi exponentmi sme zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch.
Napríklad stupeň s prirodzeným exponentom je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí;
...číslo na nulovú mocninu- toto je akoby číslo, ktoré sa raz vynásobilo samo sebou, to znamená, že ho ešte nezačali násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda iba určité „prázdne číslo“ , menovite číslo;
...záporné celé číslo- je to, ako keby nastal nejaký „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo o sebe, ale rozdelené.
Mimochodom, vo vede sa často používa titul s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo.
Ale v škole o takýchto ťažkostiach nepremýšľame; budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy v inštitúte.
KAM SOM SI ISTÝ, ŽE PÔJDETE! (ak sa naučíš riešiť takéto príklady :))
Napríklad:
Rozhodnite sa sami:
Analýza riešení:
1. Začnime s obvyklým pravidlom pre zvýšenie moci na moc:
ROZŠÍRENÁ ÚROVEŇ
Určenie stupňa
Titul je vyjadrením tvaru: , kde:
- — základ stupňa;
- - exponent.
Stupeň s prirodzeným ukazovateľom (n = 1, 2, 3,...)
Zvýšenie čísla na prirodzenú mocninu n znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:
Stupeň s celočíselným exponentom (0, ±1, ±2,...)
Ak je exponent kladné celé čísločíslo:
Stavebníctvo na nulový stupeň:
Výraz je neurčitý, pretože na jednej strane je do akéhokoľvek stupňa toto a na druhej strane akékoľvek číslo do tého stupňa je toto.
Ak je exponent záporné celé čísločíslo:
(pretože nemôžete deliť).
Ešte raz o nulách: výraz nie je definovaný v prípade. Ak teda.
Príklady:
Mocnina s racionálnym exponentom
- — prirodzené číslo;
- - celé číslo;
Príklady:
Vlastnosti stupňov
Aby sme uľahčili riešenie problémov, pokúsme sa pochopiť: odkiaľ tieto vlastnosti pochádzajú? Dokážme ich.
Pozrime sa: čo je a?
Podľa definície:
Takže na pravej strane tohto výrazu dostaneme nasledujúci produkt:
Ale podľa definície je to mocnina čísla s exponentom, to znamená:
Q.E.D.
Príklad : Zjednodušte výraz.
Riešenie : .
Príklad : Zjednodušte výraz.
Riešenie : Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle Nevyhnutne musia byť rovnaké dôvody. Preto kombinujeme sily so základňou, ale zostáva to samostatný faktor:
Ďalšia dôležitá poznámka: toto pravidlo - len pre súčin síl!
To v žiadnom prípade nemôžete napísať.
Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, vráťme sa k definícii stupňa:
Zostavme túto prácu takto:
Ukazuje sa, že výraz sa násobí sám o sebe krát, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:
V podstate to možno nazvať „vytiahnutím indikátora zo zátvoriek“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne: !
Spomeňme si na skrátené vzorce na násobenie: koľkokrát sme chceli písať? Ale to predsa nie je pravda.
Moc s negatívnou bázou.
Doteraz sme len diskutovali o tom, ako by to malo byť indikátor stupňa. Čo by však malo byť základom? V právomociach prirodzené indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo .
V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek čísla, či už sú kladné, záporné alebo párne. Zamyslime sa nad tým, ktoré znamienka ("" alebo "") budú mať mocniny kladných a záporných čísel?
Napríklad, je číslo kladné alebo záporné? A? ?
Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.
Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Pamätáme si jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus za mínus dáva plus“. Teda, resp. Ale ak vynásobíme (), dostaneme - .
A tak ďalej do nekonečna: s každým ďalším násobením sa znamienko zmení. Je možné sformulovať nasledujúce jednoduché pravidlá:
- dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
- Záporné číslo zvýšené na nepárne stupeň, - číslo negatívne.
- Kladné číslo v akomkoľvek stupni je kladné číslo.
- Nula k akejkoľvek mocnine sa rovná nule.
Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Zvládli ste to? Tu sú odpovede:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.
V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: napokon nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny. Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).
Príklad 6) už nie je taký jednoduchý. Tu musíte zistiť, čo je menej: alebo? Ak si to pamätáme, je jasné, že základ je menší ako nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledok bude negatívny.
A opäť použijeme definíciu stupňa:
Všetko je ako obvykle - zapíšeme definíciu stupňov a rozdelíme ich navzájom, rozdelíme ich do dvojíc a dostaneme:
Predtým, ako sa pozrieme na posledné pravidlo, vyriešme niekoľko príkladov.
Vypočítajte výrazy:
Riešenia :
Vráťme sa k príkladu:
A opäť vzorec:
Takže teraz posledné pravidlo:
Ako to dokážeme? Samozrejme, ako obvykle: rozvinieme pojem titul a zjednodušíme ho:
No, teraz otvoríme zátvorky. Koľko písmen je celkovo? krát podľa násobiteľov - čo vám to pripomína? Toto nie je nič iné ako definícia operácie násobenie: Boli tam len násobilky. To znamená, že toto je podľa definície mocnina čísla s exponentom:
Príklad:
Stupeň s iracionálnym exponentom
Okrem informácií o stupňoch pre priemernú úroveň budeme analyzovať stupeň s iracionálnym exponentom. Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou - napokon, podľa definície, iracionálne čísla sú čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (tj. , iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).
Pri štúdiu titulov s prirodzenými, celočíselnými a racionálnymi exponentmi sme zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch. Napríklad stupeň s prirodzeným exponentom je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí; číslo s nulovou mocninou je ako keby číslo, ktoré sa raz vynásobilo samo sebou, to znamená, že ho ešte nezačali násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda len určitý „prázdne číslo“, konkrétne číslo; stupeň s celočíselným záporným exponentom - je to, ako keby nastal nejaký „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo o sebe, ale rozdelené.
Je mimoriadne ťažké predstaviť si stupeň s iracionálnym exponentom (rovnako ako je ťažké predstaviť si 4-rozmerný priestor). Je to skôr čisto matematický objekt, ktorý matematici vytvorili, aby rozšírili pojem stupňa na celý priestor čísel.
Mimochodom, vo vede sa často používa titul s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo. Ale v škole o takýchto ťažkostiach nepremýšľame; budete mať príležitosť pochopiť tieto nové koncepty v inštitúte.
Čo teda urobíme, ak uvidíme iracionálny exponent? Snažíme sa ho zo všetkých síl zbaviť :)
Napríklad:
Rozhodnite sa sami:
| 1) | 2) | 3) |
Odpovede:
ZHRNUTIE SEKCIE A ZÁKLADNÉ VZORCE
stupňa nazývaný výraz vo forme: , kde:
Stupeň s celočíselným exponentom
stupeň, ktorého exponent je prirodzené číslo (t. j. celé číslo a kladné číslo).
Mocnina s racionálnym exponentom
stupňa, ktorého exponentom sú záporné a zlomkové čísla.
Stupeň s iracionálnym exponentom
stupeň, ktorého exponentom je nekonečný desatinný zlomok alebo odmocnina.
Vlastnosti stupňov
Vlastnosti stupňov.
- Záporné číslo zvýšené na dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
- Záporné číslo zvýšené na nepárne stupeň, - číslo negatívne.
- Kladné číslo v akomkoľvek stupni je kladné číslo.
- Nula sa rovná akejkoľvek moci.
- Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná.
TERAZ MÁTE SLOVO...
Ako sa vám páči článok? Napíšte dole do komentárov, či sa vám to páčilo alebo nie.
Povedzte nám o svojich skúsenostiach s používaním vlastností stupňov.
Možno máte otázky. Alebo návrhy.
Napíšte do komentárov.
A veľa šťastia na skúškach!
No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.
Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!
Teraz to najdôležitejšie.
Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.
Problém je, že to nemusí stačiť...
za čo?
Za úspešné absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky, za vstup na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE, na celý život.
nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...
Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.
Ale to nie je to hlavné.
Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...
Ale zamysli sa nad sebou...
Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?
ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.
Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.
Budete potrebovať riešiť problémy s časom.
A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.
Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.
Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!
Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.
Aby ste mohli lepšie využívať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.
Ako? Sú dve možnosti:
- Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku -
- Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - Kúpte si učebnicu - 899 RUR
Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.
Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.
A na záver...
Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.
„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.
Nájdite problémy a riešte ich!