Vo fáze prípravy na záverečný test si stredoškoláci potrebujú zlepšiť svoje znalosti na tému „Exponenciálne rovnice“. Skúsenosti z minulých rokov naznačujú, že takéto úlohy spôsobujú školákom určité ťažkosti. Preto si stredoškoláci bez ohľadu na úroveň prípravy potrebujú dôkladne osvojiť teóriu, zapamätať si vzorce a pochopiť princíp riešenia takýchto rovníc. Keď sa absolventi naučili vyrovnať sa s týmto typom problémov, môžu sa spoľahnúť na vysoké skóre pri absolvovaní jednotnej štátnej skúšky z matematiky.
Pripravte sa na testovanie so Shkolkovo!
Pri preberaní materiálov, ktoré prebrali, sa mnohí študenti stretávajú s problémom nájsť vzorce potrebné na riešenie rovníc. Školská učebnica nie je vždy po ruke a výber potrebných informácií k téme na internete trvá dlho.
Vzdelávací portál Shkolkovo pozýva študentov, aby využívali našu vedomostnú základňu. Realizujeme kompletne nová metóda príprava na záverečný test. Štúdiom na našej webovej stránke budete môcť identifikovať medzery vo vedomostiach a venovať pozornosť tým úlohám, ktoré spôsobujú najväčšie ťažkosti.
Shkolkovskí učitelia zhromaždili, systematizovali a prezentovali všetko potrebné pre úspešné absolvovanie Materiál jednotnej štátnej skúšky v najjednoduchšej a najdostupnejšej forme.
Základné definície a vzorce sú uvedené v časti „Teoretické východiská“.
Pre lepšie pochopenie látky odporúčame precvičiť si plnenie zadaní. Pozorne si prečítajte príklady exponenciálnych rovníc s riešeniami uvedenými na tejto stránke, aby ste pochopili algoritmus výpočtu. Potom pokračujte v vykonávaní úloh v časti „Adresáre“. Môžete začať s najjednoduchšími problémami alebo prejsť priamo k riešeniu zložitých exponenciálnych rovníc s niekoľkými neznámymi alebo . Databáza cvikov na našej stránke je neustále dopĺňaná a aktualizovaná.
Príklady s indikátormi, ktoré vám spôsobili ťažkosti, môžete pridať do „Obľúbené“. Takto ich môžete rýchlo nájsť a prediskutovať riešenie s učiteľom.
Ak chcete úspešne zložiť jednotnú štátnu skúšku, študujte na portáli Shkolkovo každý deň!
"Nerovnosti s jednou premennou" - Nemôžete sa prestať učiť. Zadajte najväčšie celé číslo, ktoré patrí do intervalu. Učíme sa z príkladov. Riešením nerovnosti v jednej premennej je hodnota premennej. Lineárna nerovnosť. Nájdite chybu. Nerovnosti. Ciele lekcie. Riešenie nerovnosti znamená nájsť všetky jej riešenia. Historické informácie.
„Algoritmus na riešenie nerovností“ - Funkcia. Úloha. Deje sa. Veľa riešení. Riešenie nerovností. Nerovnosti. Riešenie nerovností. Uvažujme o diskriminačných. Riešime nerovnosť pomocou intervalovej metódy. Najjednoduchšia lineárna nerovnosť. Algoritmus na riešenie nerovností. Os. Teraz poďme vyriešiť kvadratickú nerovnosť.
„Logaritmické rovnice a nerovnosti“ – Zistite, či je číslo kladné alebo záporné. Účel lekcie. Vyriešte rovnicu. Vlastnosti logaritmov. Logaritmy. Vzorce pre prechod na nový základ. Precvičovanie zručností pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc. Definícia logaritmu. Vypočítajte. Uveďte postup riešenia nasledujúcich rovníc.
„Dôkaz nerovností“ - Aplikácia metódy matematickej indukcie. Pre n=3 dostaneme. Dokázať, že pre všetky n? N dôkaz. podľa Bernoulliho vety, podľa potreby. To však jasne dokazuje, že náš predpoklad je nesprávny. Metóda je založená na vlastnosti nezápornosti kvadratického trinomu, ak a. Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť.
„Riešenie nerovníc intervalovou metódou“ - Riešenie nerovníc intervalovou metódou. 2. Algoritmus riešenia nerovnosti intervalovou metódou. Vzhľadom na graf funkcie: Vyriešte nerovnosť:
„Riešenie iracionálnych rovníc a nerovností“ - cudzie korene. Súbor úloh. Zadajte násobiteľ pod znakom koreňa. Práca s úlohou. Iracionálne rovnice a nerovnice. Aktualizácia vedomostí. Iracionálna rovnica. Definícia. Vyberte si tie, ktoré sú iracionálne. Iracionálne rovnice. Pre aké hodnoty A platí rovnosť. Iracionálne nerovnosti.
V tejto lekcii sa pozrieme na riešenie zložitejších exponenciálnych rovníc a pripomenieme si základné teoretické princípy týkajúce sa exponenciálnej funkcie.
1. Definícia a vlastnosti exponenciálnej funkcie, metódy riešenia najjednoduchších exponenciálnych rovníc
Pripomeňme si definíciu a základné vlastnosti exponenciálnej funkcie. Na týchto vlastnostiach je založené riešenie všetkých exponenciálnych rovníc a nerovníc.
Exponenciálna funkcia je funkciou tvaru , kde základ je stupeň a x je nezávislá premenná, argument; y je závislá premenná, funkcia.
Ryža. 1. Graf exponenciálnej funkcie
Graf ukazuje rastúce a klesajúce exponenty, ktoré ilustrujú exponenciálnu funkciu so základňou väčšou ako jedna a menšou ako jedna, ale väčšou ako nula.
Obe krivky prechádzajú bodom (0;1)
Vlastnosti exponenciálnej funkcie:
Rozsah: ;
Rozsah hodnôt: ;
Funkcia je monotónna, rastie s, klesá s.
Monotónna funkcia preberá každú z jej hodnôt s jednou hodnotou argumentu.
Keď sa argument zvýši z mínus na plus nekonečno, funkcia sa zvýši z nuly vrátane na plus nekonečno. Naopak, keď sa argument zvýši z mínus do plus nekonečna, funkcia sa zníži z nekonečna na nulu, nie vrátane.
2. Riešenie štandardných exponenciálnych rovníc
Pripomeňme si, ako riešiť najjednoduchšie exponenciálne rovnice. Ich riešenie je založené na monotónnosti exponenciálnej funkcie. Takmer všetky zložité exponenciálne rovnice možno redukovať na takéto rovnice.
Rovnosť exponentov s rovnakými základmi je spôsobená vlastnosťou exponenciálnej funkcie, a to jej monotónnosťou.
Spôsob riešenia:
Vyrovnajte základy stupňov;
Porovnajte exponenty.
Prejdime k zložitejším exponenciálnym rovniciam, naším cieľom je zredukovať každú z nich na najjednoduchšie.
Zbavme sa koreňa na ľavej strane a privedieme stupne na rovnakú základňu:
Aby sa zložitá exponenciálna rovnica zredukovala na najjednoduchšiu, často sa používa substitúcia premenných.
Použime vlastnosť sily:
Zavádzame náhradu. Nech je to potom 
Vynásobte výslednú rovnicu dvoma a preneste všetky členy do ľavá strana:
Prvý koreň nevyhovuje rozsahu hodnôt y, preto ho zahodíme. Získame:
Znížime stupne na rovnaký ukazovateľ:
Predstavme si náhradu:
Nech je to potom 
. Pri takejto náhrade je zrejmé, že y akceptuje prísne kladné hodnoty. Získame:
Vieme, ako riešiť takéto kvadratické rovnice, odpoveď si môžeme zapísať:
Aby ste sa uistili, že korene sú nájdené správne, môžete to skontrolovať pomocou Vietovej vety, t. j. nájsť súčet koreňov a ich súčin a porovnať ich so zodpovedajúcimi koeficientmi rovnice.
Získame:
3. Metodika riešenia homogénnych exponenciálnych rovníc druhého stupňa
Poďme študovať nasledujúci dôležitý typ exponenciálnych rovníc:
Rovnice tohto typu sa nazývajú homogénne druhého stupňa vzhľadom na funkcie f a g. Na jeho ľavej strane je štvorcová trojčlenka vzhľadom na f s parametrom g alebo štvorcová trojčlenka vzhľadom na g s parametrom f.
Spôsob riešenia:
Táto rovnica môže byť vyriešená ako kvadratická rovnica, ale je jednoduchšie to urobiť inak. Je potrebné zvážiť dva prípady:
V prvom prípade dostaneme
V druhom prípade máme právo deliť najvyšším stupňom a získať:
Je potrebné zaviesť zmenu premenných, získame kvadratickú rovnicu pre y:
Všimnime si, že funkcie f a g môžu byť ľubovoľné, ale nás zaujíma prípad, keď ide o exponenciálne funkcie.
4. Príklady riešenia homogénnych rovníc
Presuňme všetky výrazy na ľavú stranu rovnice:
Keďže exponenciálne funkcie nadobúdajú striktne kladné hodnoty, máme právo okamžite rozdeliť rovnicu číslom , bez toho, aby sme brali do úvahy prípad, keď:
Získame:
Predstavme si náhradu: 
(podľa vlastností exponenciálnej funkcie)
Dostali sme kvadratickú rovnicu:
Korene určujeme pomocou Vietovej vety:
Prvý koreň nespĺňa rozsah hodnôt y, zahodíme ho, dostaneme:
Využime vlastnosti stupňov a zredukujme všetky stupne na jednoduché základy:
Je ľahké si všimnúť funkcie f a g:
Sekcie: Matematika
Ciele lekcie:
Vzdelávacie: učiť, ako riešiť systémy exponenciálnych rovníc; upevniť zručnosti pri riešení rovníc zahrnutých v týchto systémoch
Výchovné: pestovať úhľadnosť.
Vývinové: rozvíjať kultúru písomného a ústneho prejavu.
Vybavenie: počítač; multimediálny projektor.
Pokrok v lekcii
Organizačný moment
učiteľ. Dnes budeme pokračovať v štúdiu kapitoly „Exponenciálna funkcia“. Tému lekcie sformulujeme o niečo neskôr. Počas lekcie vyplníte formuláre odpovede, ktoré máte na stole ( cm. prihláška č.1 ). Odpovede budú zhrnuté.
Aktualizácia vedomostí.
Žiaci odpovedajú na otázky:
- Aký je tvar exponenciálnej funkcie?
Ústna práca. Pracujte na snímkach 1 až 5.
- Ktorá rovnica sa nazýva exponenciálna?
- Aké metódy riešenia poznáte?
Ústna práca na snímkach 6 až 10.
- Aká vlastnosť exponenciálnej funkcie sa používa pri riešení exponenciálnych nerovností?
Ústna práca na snímkach 11 až 15.
Cvičenie. Odpovede na tieto otázky si zapíšte do odpoveďového hárku č.1. ( cm. prihláška č.1 ). (snímky 16 až 31)
Kontrola domácich úloh
.Domáce úlohy kontrolujeme nasledovne.
Nahraďte korene rovníc zodpovedajúcim písmenom a uhádnite slovo.
Žiaci si pozrú odpoveďový hárok č. 2 ( Dodatok 1) . Učiteľ ukazuje snímku číslo 33
(Žiaci pomenujú slovo (snímka č. 34)).
- Aké javy sa vyskytujú podľa zákonov tejto funkcie?
Študenti sú vyzvaní, aby vyriešili úlohy z Jednotnej štátnej skúšky B12 (snímka 35) a riešenie zapísali do odpovede č. 3 ( Dodatok 1).
Počas kontroly domáce úlohy a riešení úlohy B12 si zopakujeme metódy riešenia exponenciálnych rovníc.
Študenti dospeli k záveru, že riešenie rovnice v dvoch premenných vyžaduje ďalšiu rovnicu.
Potom sa sformuluje téma hodiny (snímka číslo 37).
Systém je zapísaný do zošitov (snímka č. 38).
Na vyriešenie tohto systému zopakujeme substitučnú metódu (snímka číslo 39).
Metóda sčítania sa opakuje pri riešení sústavy (snímky 38 až 39).
Primárna konsolidácia študovaného materiálu
:Žiaci samostatne riešia sústavy rovníc v odpovediach č.4 ( Dodatok 1 ), individuálne konzultácie s učiteľmi.
Zhrnutie. Reflexia.
Pokračujte vo vetách.
- Dnes som si v triede zopakoval...
- Dnes som v triede posilnil...
- Dnes som sa v triede naučila...
- Dnes som sa v triede naučila...
Na konci hodiny si žiaci zapíšu domácu úlohu a odovzdajú odpoveďové formuláre.
domáca úloha:
č. 59 (párne) a č. 62 (párne).Literatúra
- Všetky úlohy skupiny jednotných štátnych skúšok 3000 úloh - Vydavateľstvo „Skúška“ Moskva, 2011. Editoval A.L.
- Semenová, I.V. Jaščenko.
- S.A. Shestakov, P.I. Zakharov Unified State Exam 2010 matematický problém C1 edited by A.L. Semenová, I.V. Moskovské vydavateľstvo Yashchenko „MCNMO“. Návod
Algebra a začiatky matematickej analýzy, ročník 10 Yu.M. Kolyagin Moskva „Osvietenie“, 2008.
Metódy riešenia sústav rovníc
Na začiatok si stručne pripomeňme, aké metódy vo všeobecnosti existujú na riešenie sústav rovníc. Existujúštyri hlavné spôsoby
riešenia sústav rovníc:
Substitučná metóda: vezmite ktorúkoľvek z uvedených rovníc a vyjadrite $y$ pomocou $x$, potom sa $y$ dosadí do rovnice systému, odkiaľ potom nájdeme premennú $x.$ jednoducho vypočítať premennú $y.$
Metóda sčítania: Pri tejto metóde musíte vynásobiť jednu alebo obe rovnice takými číslami, že keď obidve sčítate, jedna z premenných „zmizne“.
Grafická metóda: obe rovnice sústavy sú znázornené na súradnicovej rovine a je nájdený ich priesečník.
Metóda zavádzania nových premenných: v tejto metóde nahrádzame niektoré výrazy, aby sme systém zjednodušili, a potom použijeme jednu z vyššie uvedených metód.
Systémy exponenciálnych rovníc
Definícia 1
Systémy rovníc pozostávajúce z exponenciálnych rovníc sa nazývajú systémy exponenciálnych rovníc.
Budeme uvažovať o riešení sústav exponenciálnych rovníc pomocou príkladov.
Príklad 1
Riešiť sústavu rovníc
Obrázok 1
Riešenie.
Na vyriešenie tohto systému použijeme prvú metódu. Najprv vyjadrime $y$ v prvej rovnici pomocou $x$.
Obrázok 2
\ \ \[-2-x=2\] \ \
odpoveď: $(-4,6)$.
Príklad 2
Príklad 1
Obrázok 3.
Obrázok 1
Tento systém je ekvivalentný systému
Obrázok 4.
Použime štvrtú metódu riešenia rovníc. Nech $2^x=u\ (u >0)$ a $3^y=v\ (v >0)$, dostaneme:
Obrázok 5.
Vyriešme výslednú sústavu sčítacou metódou. Sčítajme rovnice:
\ \
Potom to dostaneme z druhej rovnice
Vrátenie sa k náhrade, prijaté nový systém exponenciálne rovnice:
Obrázok 6.
Získame:
Obrázok 7.
odpoveď: $(0,1)$.
Systémy exponenciálnych nerovností
Definícia 2
Systémy nerovníc pozostávajúce z exponenciálnych rovníc sa nazývajú systémy exponenciálnych nerovníc.
Budeme uvažovať o riešení systémov exponenciálnych nerovníc pomocou príkladov.
Príklad 3
Vyriešte systém nerovností
Obrázok 8.
Riešenie:
Tento systém nerovností je ekvivalentný systému
Obrázok 9.
Ak chcete vyriešiť prvú nerovnosť, pripomeňte si nasledujúcu vetu o ekvivalencii exponenciálnych nerovností:
Veta 1. Nerovnosť $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, kde $a >0,a\ne 1$ je ekvivalentom súboru dvoch systémov
\}