คำจำกัดความ 1.เวกเตอร์ในอวกาศเรียกว่าส่วนกำกับ
ดังนั้น เวกเตอร์จึงมีคุณลักษณะสองประการ ซึ่งต่างจากปริมาณสเกลาร์ คือ ความยาวและทิศทาง เราจะแสดงเวกเตอร์ด้วยสัญลักษณ์ หรือ ก .
(ที่นี่ กและ ใน– จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์นี้ (รูปที่ 1)) ก ใน
ความยาวของเวกเตอร์แสดงด้วยสัญลักษณ์โมดูลัส: .กรูปที่ 1
เวกเตอร์มีสามประเภทที่กำหนดโดยความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้:
เวกเตอร์ที่ตรึงไว้เรียกว่าเท่ากันถ้าจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกันตามลำดับ ตัวอย่างของเวกเตอร์ดังกล่าวคือเวกเตอร์แรง
เวกเตอร์แบบเลื่อนเรียกว่าเท่ากันหากอยู่บนเส้นตรงเดียวกันและมีความยาวและทิศทางเท่ากัน ตัวอย่างของเวกเตอร์ดังกล่าวคือเวกเตอร์ความเร็ว
เวกเตอร์ด้วยมือเปล่าหรือเรขาคณิตจะถือว่าเท่ากันหากสามารถรวมกันโดยใช้การถ่ายโอนแบบขนาน
หลักสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์ครอบคลุมถึง เท่านั้นเวกเตอร์ฟรี
คำจำกัดความ 2เรียกว่าเวกเตอร์ที่มีความยาวเป็นศูนย์ ศูนย์เวกเตอร์หรือ ศูนย์ -
เวกเตอร์.
แน่นอนว่าจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ศูนย์ตรงกัน เวกเตอร์ว่างไม่มีทิศทางเฉพาะหรือมี ใดๆทิศทาง.
คำจำกัดความ 3เรียกเวกเตอร์สองตัวที่วางอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนาน
คอลลิเนียร์(รูปที่ 2) กำหนด:
.ก
ข
คำจำกัดความที่ 4เรียกว่าเวกเตอร์แบบคอลลิเนียร์และแบบกำกับที่เหมือนกันสองตัว
ร่วมทิศทางกำหนด:
.
ตอนนี้เราสามารถให้คำจำกัดความที่เข้มงวดของความเท่าเทียมกันของเวคเตอร์ฟรีได้:
คำจำกัดความที่ 5เวคเตอร์อิสระสองตัวจะเท่ากันหากพวกมันมีทิศทางร่วมและมี
ความยาวเท่ากัน
คำนิยาม 6เรียกว่าเวกเตอร์สามตัวที่อยู่ในระนาบเดียวกันหรือขนานกัน
เครื่องบินร่วม.
เรียกว่าเวกเตอร์ตั้งฉากสองตัว ตั้งฉากกัน:
.
คำนิยาม 7เรียกว่าเวกเตอร์ที่มีหน่วยความยาว เวกเตอร์หน่วยหรือ ออร์ตอม
Ort มีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ก เรียกว่า ทิศเหนือของเวกเตอร์ก :จ ก .
§2.การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์
การดำเนินการเชิงเส้นถูกกำหนดไว้บนชุดเวกเตอร์: การบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข
I. การบวกเวกเตอร์
ผลรวมของเวกเตอร์ 2 ตัวคือเวกเตอร์ที่จุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรก และจุดสิ้นสุดกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สอง โดยมีเงื่อนไขว่าจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่สองตรงกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรก
ล มันง่ายที่จะเห็นว่าผลรวมของเวกเตอร์สองตัวถูกกำหนดไว้
ดังนั้น (รูปที่ 3a) เกิดขึ้นพร้อมกับผลรวมของเวกเตอร์
สร้างตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 6) ข
อย่างไรก็ตาม กฎนี้อนุญาตให้คุณสร้างได้ ก
ผลรวมของเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้ (รูปที่ 3b)
ก + ข
ก
ข ก + ข + ค
รูปที่ 3b ค
เวกเตอร์- การกระทำเกินเวกเตอร์ สเกลาร์,
เวกเตอร์ ผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์
1. เวกเตอร์ การดำเนินการกับเวกเตอร์
คำจำกัดความพื้นฐาน
คำจำกัดความ 1.ปริมาณที่มีคุณลักษณะครบถ้วนด้วยค่าตัวเลขในระบบหน่วยที่เลือกเรียกว่า สเกลาร์หรือ สเกลาร์ .
(น้ำหนักตัว ปริมาตร เวลา ฯลฯ)
คำจำกัดความ 2เรียกว่าปริมาณที่มีลักษณะเป็นตัวเลขและทิศทาง เวกเตอร์ หรือ เวกเตอร์ .
(การเคลื่อนไหว ความแข็งแกร่ง ความเร็ว ฯลฯ)
การกำหนด: , หรือ , .
เวกเตอร์เรขาคณิตเป็นส่วนที่มีทิศทาง
สำหรับเวกเตอร์คือจุด ก– จุดเริ่มต้น, จุด ใน– จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์
คำจำกัดความ 3โมดูล เวกเตอร์คือความยาวของส่วน AB
คำจำกัดความที่ 4เวกเตอร์ที่มีโมดูลัสเป็นศูนย์เรียกว่า ศูนย์ , แสดงโดย
คำจำกัดความที่ 5เวกเตอร์ที่อยู่บนเส้นขนานหรือเส้นตรงเดียวกันเรียกว่า คอลลิเนียร์ - ถ้าเวกเตอร์คอลลิเนียร์สองตัวมีทิศทางเดียวกัน ก็จะเรียกเวกเตอร์เหล่านั้น ร่วมกำกับ .
คำนิยาม 6พิจารณาเวกเตอร์สองตัว เท่ากัน ถ้าพวกเขา ร่วมกำกับ และมีโมดูลัสเท่ากัน
การดำเนินการกับเวกเตอร์
1) การเพิ่มเวกเตอร์
Def. 6.จำนวน เวกเตอร์สองตัวและเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้ โดยเริ่มจากจุดร่วมของการประยุกต์ (กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน).
รูปที่ 1.
Def. 7.ผลรวมของเวกเตอร์สามตัว , , เรียกว่าเส้นทแยงมุมของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้ (กฎคู่ขนาน)
Def. 8.ถ้า ก, ใน, กับ เป็นจุดตามอำเภอใจแล้ว + = (กฎสามเหลี่ยม).
รูปที่ 2
คุณสมบัติของการบวก
1 โอ . + = + (กฎหมายการโอน)
2 โอ . + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (กฎการรวมกัน)
3 โอ . + (– ) + .
2) การลบเวกเตอร์
Def. 9.ภายใต้ ความแตกต่าง เวกเตอร์และเข้าใจเวกเตอร์ = – เช่นนั้น + = .
ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน นี่คืออีกอันหนึ่ง เส้นทแยงมุม SD (ดูรูปที่ 1)
3) การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข
Def. 10. การทำงาน เวกเตอร์เป็นสเกลาร์ เค เรียกว่าเวกเตอร์
= เค = เค ,
มีความยาว คะ , และทิศทางที่:
1. เกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของเวกเตอร์ ถ้า เค > 0;
2. ตรงข้ามกับทิศทางของเวกเตอร์ ถ้า เค < 0;
3. โดยพลการ ถ้า เค = 0.
คุณสมบัติของการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข
1 โอ . (เค + ล ) = เค + ล .
เค ( + ) = เค + เค .
2 โอ . เค (ล ) = (กิโล ) .
3 โอ . 1 = , (–1) = – , 0 = .
คุณสมบัติของเวกเตอร์
Def. 11.เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า คอลลิเนียร์ หากพวกเขาตั้งอยู่บน เส้นขนานหรือบน เส้นตรงเส้นหนึ่ง
เวกเตอร์ว่างอยู่ในแนวเดียวกับเวกเตอร์ใดๆ
ทฤษฎีบท 1เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว และ คอลลิเนียร์, เมื่อพวกมันเป็นสัดส่วนเช่น
= เค , เค – สเกลาร์
Def. 12.เวกเตอร์ทั้งสามตัว , , ถูกเรียกว่า เครื่องบินร่วม หากพวกมันขนานกับระนาบใดระนาบหนึ่งหรือนอนอยู่ในระนาบนั้น
ทฤษฎีบท 2เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สามตัว , , เครื่องบินร่วม, เมื่อหนึ่งในนั้นเป็นผลรวมเชิงเส้นของอีกสองตัว นั่นคือ
= เค + ล , เค , ล – สเกลาร์
การฉายภาพเวกเตอร์บนแกน
ทฤษฎีบท 3การฉายภาพเวกเตอร์บนแกน (เส้นตรงกำกับ) ลเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างทิศทางของเวกเตอร์กับทิศทางของแกน เช่น = ก คระบบปฏิบัติการ , = ( , ล).
2. พิกัดเวกเตอร์
Def. 13.เส้นโครงเวกเตอร์บนแกนพิกัด โอ้, โอ้, ออนซ์ถูกเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์ การกำหนด: ก x , ก ย , ก z .
ความยาวเวกเตอร์:
ตัวอย่าง:คำนวณความยาวของเวกเตอร์.
สารละลาย:
ระยะห่างระหว่างจุด และ คำนวณโดยสูตร: .
ตัวอย่าง:ค้นหาระยะห่างระหว่างจุด M (2,3,-1) และ K (4,5,2)
การดำเนินการกับเวกเตอร์ในรูปแบบพิกัด
ให้เวกเตอร์ = ก x , ก ย , ก z และ = ข x , ข ย , ข z .
1. ( )= ก x ข x , ก ย ข ย , ก z ข z .
2. = ก x , ก ย , ก z, ที่ไหน – สเกลาร์
ผลคูณดอทของเวกเตอร์
คำนิยาม:ภายใต้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวและ
เข้าใจว่าเป็นตัวเลขเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมันนั่นคือ = , - มุมระหว่างเวกเตอร์และ .
คุณสมบัติของผลคูณดอท:
1. =
2. ( + ) =
3.
4.
5. , สเกลาร์อยู่ที่ไหน
6. เวกเตอร์สองตัวตั้งฉาก (ตั้งฉาก) ถ้า .
7. ถ้าและหากเท่านั้น .
ผลคูณสเกลาร์ในรูปแบบพิกัดมีรูปแบบ: , ที่ไหนและ .
ตัวอย่าง:ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และ
สารละลาย:
เวกเตอร์ถือเวกเตอร์
คำนิยาม: ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวคือเวกเตอร์ที่:
โมดูลเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์เหล่านี้เช่น , มุมระหว่างเวกเตอร์กับอยู่ที่ไหน
เวกเตอร์นี้ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำลังคูณ เช่น
หากเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวคอลลิเนียร์ มันจะสร้างเวกเตอร์แฝดทางขวามือ
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ข้าม:
1. เมื่อเปลี่ยนลำดับของปัจจัย ผลคูณเวกเตอร์จะเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม โดยคงโมดูลัสไว้ เช่น
2 . เวกเตอร์กำลังสองเท่ากับเวกเตอร์ว่าง เช่น
3 . ตัวประกอบสเกลาร์สามารถนำออกจากเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้ เช่น
4 สำหรับเวกเตอร์สามตัวใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง
5 . เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์สองตัว และ :
สินค้าข้ามในรูปแบบพิกัด
ถ้าพิกัดของเวกเตอร์และ , จากนั้นสูตรจะพบผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
.
จากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เป็นไปตามพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์และคำนวณโดยสูตร:
ตัวอย่าง:คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1)
สารละลาย: .
จากนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC จะถูกคำนวณดังนี้:
,
ผลคูณผสมของเวกเตอร์
คำนิยาม:ผลคูณผสม (เวกเตอร์-สเกลาร์) ของเวกเตอร์คือตัวเลขที่กำหนดโดยสูตร: .
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ผสม:
1. ผลิตภัณฑ์แบบผสมจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการจัดเรียงปัจจัยใหม่แบบวนรอบ เช่น .
2. เมื่อมีการจัดเรียงปัจจัยที่อยู่ติดกันสองตัวใหม่ ผลิตภัณฑ์ผสมจะเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม นั่นคือ -
3 เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นระนาบเดียวกันของเวกเตอร์สามตัว : =0.
4 ผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัวเท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้ โดยถ่ายด้วยเครื่องหมายบวกหากเวกเตอร์เหล่านี้รวมกันเป็นสามเท่าด้านขวา และด้วยเครื่องหมายลบหากพวกมันรวมกันเป็นสามด้านซ้าย เช่น .
ถ้ารู้ พิกัดเวกเตอร์ ,
แล้วหาผลิตภัณฑ์ผสมตามสูตร:
ตัวอย่าง:คำนวณผลคูณผสมของเวกเตอร์.
สารละลาย:
3. พื้นฐานของระบบเวกเตอร์
คำนิยาม.ระบบเวกเตอร์เข้าใจว่าเป็นเวกเตอร์หลายตัวที่อยู่ในปริภูมิเดียวกัน ร.
ความคิดเห็นหากระบบประกอบด้วยเวกเตอร์จำนวนจำกัด เวกเตอร์เหล่านั้นจะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกันซึ่งมีดัชนีต่างกัน
ตัวอย่าง.
คำนิยาม. เวกเตอร์ใดๆ ในแบบฟอร์ม = เรียกว่าผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ ตัวเลขคือค่าสัมประสิทธิ์ของการรวมกันเชิงเส้น
ตัวอย่าง. .
คำนิยาม- ถ้าเวกเตอร์เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ , แล้วพวกเขาบอกว่าเวกเตอร์นั้นแสดงเป็นเส้นตรงในรูปของเวกเตอร์ .
คำนิยาม.เรียกว่าระบบเวกเตอร์ เป็นอิสระเชิงเส้นถ้าไม่ใช่เวกเตอร์เพียงตัวเดียวของระบบก็สามารถเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่เหลือได้ มิฉะนั้น ระบบจะเรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
ตัวอย่าง- ระบบเวกเตอร์ เป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจากเป็นเวกเตอร์ .
คำจำกัดความของพื้นฐานระบบเวกเตอร์จะสร้างพื้นฐานหาก:
1) มันเป็นอิสระเชิงเส้น
2) เวกเตอร์ใดๆ ของปริภูมิสามารถแสดงเป็นเส้นตรงผ่านเวกเตอร์นั้นได้
ตัวอย่างที่ 1พื้นฐานพื้นที่: .
2. ในระบบเวกเตอร์ พื้นฐานคือเวกเตอร์: เพราะ แสดงเชิงเส้นในรูปของเวกเตอร์
ความคิดเห็นในการค้นหาพื้นฐานของระบบเวกเตอร์ คุณต้อง:
1) เขียนพิกัดของเวกเตอร์ลงในเมทริกซ์
2) โดยใช้การแปลงเบื้องต้น นำเมทริกซ์มาเป็นรูปสามเหลี่ยม
3) แถวที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์จะเป็นพื้นฐานของระบบ
4) จำนวนเวกเตอร์ในฐานเท่ากับอันดับของเมทริกซ์
เวกเตอร์ – นี่คือส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทาง นั่นคือส่วนที่มีความยาวและทิศทางที่แน่นอน ปล่อยให้ประเด็น กคือจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และจุด บี – จุดสิ้นสุด จากนั้นเวกเตอร์จะแสดงด้วยสัญลักษณ์หรือ . เวกเตอร์นี้เรียกว่า ตรงข้าม เวกเตอร์ และสามารถกำหนดได้ .
ให้เรากำหนดคำจำกัดความพื้นฐานจำนวนหนึ่ง
ความยาวหรือ โมดูล เวกเตอร์เรียกว่าความยาวของส่วนและเขียนแทนด้วย- เรียกว่าเวกเตอร์ที่มีความยาวเป็นศูนย์ (แก่นแท้ของมันคือจุด) ศูนย์ และไม่มีทิศทาง เวกเตอร์ เรียกว่าหน่วยความยาวเดี่ยว - เวกเตอร์หน่วยซึ่งมีทิศทางตรงกับทิศทางของเวกเตอร์ , เรียกว่า ทิศเหนือของเวกเตอร์ .
เวกเตอร์ถูกเรียกว่า คอลลิเนียร์ หากอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นขนานให้เขียนลงไป- เวกเตอร์คอลลิเนียร์สามารถมีทิศทางที่ตรงกันหรือตรงกันข้ามได้ เวกเตอร์ศูนย์ถือเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ใดๆ
เวกเตอร์บอกว่าเท่ากันถ้าเป็นเส้นตรงก็จะมีทิศทางเดียวกันและมีความยาวเท่ากัน
เรียกว่าเวกเตอร์สามตัวในอวกาศ เครื่องบินร่วม ถ้าพวกมันอยู่ในระนาบเดียวกันหรือบนระนาบขนาน ถ้าในบรรดาเวกเตอร์สามตัว อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์หรือสองตัวที่เป็นเส้นตรง แล้วเวกเตอร์ดังกล่าวจะเป็นโคพลานาร์
พิจารณาในอวกาศระบบพิกัดสี่เหลี่ยม 0 เอ็กซ์ซีส- ให้เราเลือก 0 บนแกนพิกัด x, 0ย, 0zเวกเตอร์หน่วย (หรือเวกเตอร์) และแทนด้วยตามลำดับ ลองเลือกเวกเตอร์ของอวกาศตามอำเภอใจและจัดตำแหน่งกำเนิดของมันให้ตรงกับที่มาของพิกัด ลองฉายเวกเตอร์ลงบนแกนพิกัดแล้วแสดงเส้นโครงด้วย เอ็กซ์, ใช่, zตามลำดับ แล้วมันก็ง่ายที่จะแสดงสิ่งนั้น
. (2.25)
สูตรนี้เป็นสูตรพื้นฐานในแคลคูลัสเวกเตอร์ และเรียกว่า การขยายตัวของเวกเตอร์ในหน่วยเวกเตอร์ของแกนพิกัด - ตัวเลข เอ็กซ์, ใช่, zถูกเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์ - ดังนั้นพิกัดของเวกเตอร์คือเส้นโครงของมันบนแกนพิกัด ความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ (2.25) มักเขียนอยู่ในรูปแบบ
เราจะใช้เครื่องหมายเวกเตอร์ในวงเล็บปีกกาเพื่อให้แยกแยะระหว่างพิกัดเวกเตอร์และพิกัดจุดได้ง่ายขึ้น การใช้สูตรสำหรับความยาวของส่วนที่รู้จักจากเรขาคณิตของโรงเรียน คุณสามารถค้นหานิพจน์สำหรับคำนวณโมดูลัสของเวกเตอร์:
, (2.26)
นั่นคือ โมดูลัสของเวกเตอร์เท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด
ให้เราแสดงมุมระหว่างเวกเตอร์และแกนพิกัดเป็น α, β, γ ตามลำดับ โคไซน์ มุมเหล่านี้เรียกว่าเวกเตอร์ คำแนะนำ และสำหรับพวกเขามีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:ความถูกต้องของความเท่าเทียมกันนี้สามารถแสดงได้โดยใช้คุณสมบัติของเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกน ซึ่งจะกล่าวถึงในย่อหน้าที่ 4 ต่อไปนี้
ให้เวกเตอร์ได้รับในปริภูมิสามมิติด้วยพิกัดของคุณ การดำเนินการต่อไปนี้เกิดขึ้นกับพวกเขา: เชิงเส้น (การบวก, การลบ, การคูณด้วยตัวเลขและการฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนหรือเวกเตอร์อื่น); ไม่เชิงเส้น – ผลคูณต่างๆ ของเวกเตอร์ (สเกลาร์, เวกเตอร์, คละ)
1. ส่วนที่เพิ่มเข้าไป เวกเตอร์สองตัวถูกสร้างขึ้นตามพิกัดนั่นคือถ้า
สูตรนี้มีข้อกำหนดจำนวนจำกัดตามใจชอบ
ในเชิงเรขาคณิต จะมีการเพิ่มเวกเตอร์สองตัวตามกฎสองข้อ:
ก) กฎ สามเหลี่ยม – ผลลัพธ์เวกเตอร์ผลลัพธ์ของผลรวมของเวกเตอร์สองตัวเชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรกกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สอง โดยมีเงื่อนไขว่าจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่สองตรงกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรก สำหรับผลรวมของเวกเตอร์ – เวกเตอร์ผลลัพธ์ของผลรวมจะเชื่อมโยงจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรกกับจุดสิ้นสุดของผลรวมเวกเตอร์สุดท้าย โดยมีเงื่อนไขว่าจุดเริ่มต้นของผลรวมครั้งต่อไปจะตรงกับจุดสิ้นสุดของผลรวมก่อนหน้า
ข) กฎ สี่เหลี่ยมด้านขนาน (สำหรับเวกเตอร์สองตัว) – สี่เหลี่ยมด้านขนานถูกสร้างขึ้นบนคำสั่งเวกเตอร์โดยที่ด้านลดลงเหลือจุดกำเนิดเดียวกัน เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เริ่มต้นจากจุดกำเนิดร่วมกันคือผลรวมของเวกเตอร์
2. การลบ เวกเตอร์สองตัวถูกดำเนินการในทิศทางเดียวกัน คล้ายกับการบวก นั่นคือ ถ้า, ที่
ในเชิงเรขาคณิต จะมีการเพิ่มเวกเตอร์สองตัวตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กล่าวไปแล้ว โดยคำนึงถึงความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์คือเส้นทแยงมุมที่เชื่อมต่อปลายของเวกเตอร์ และเวกเตอร์ที่ได้จะถูกส่งจากปลายด้านลบไปยังจุดสิ้นสุดของ ข้อเสีย
ผลที่ตามมาที่สำคัญของการลบเวกเตอร์คือความจริงที่ว่าถ้าทราบพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แล้ว ในการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์จำเป็นต้องลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุด - แท้จริงแล้ว เวกเตอร์ใดๆ ของอวกาศสามารถแสดงเป็นผลต่างของเวกเตอร์สองตัวที่เล็ดลอดออกมาจากจุดกำเนิด:- พิกัดเวกเตอร์และ ตรงกับพิกัดของจุดต่างๆกและ ในนับตั้งแต่กำเนิดเกี่ยวกับ(0;0;0). ดังนั้นตามกฎการลบเวกเตอร์ คุณควรลบพิกัดของจุดกจากพิกัดจุดใน.
3. คุณ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข แล พิกัดโดยพิกัด:.
ที่ λ> 0 – เวกเตอร์ร่วมกำกับ ; λ< 0 – เวกเตอร์ ทิศทางตรงกันข้าม ; | λ|> 1 – ความยาวเวกเตอร์ เพิ่มขึ้นใน λ ครั้งหนึ่ง;| λ|< 1 – ความยาวเวกเตอร์ลดลง λ ครั้งหนึ่ง.
4. ปล่อยให้เป็นเส้นตรง (แกน ล), เวกเตอร์ระบุด้วยพิกัดปลายและจุดเริ่มต้น ให้เราแสดงถึงการฉายคะแนน กและ บี ต่อแกน ลตามลำดับผ่าน ก’ และ บี’ .
การฉายภาพ เวกเตอร์ ต่อแกน ลเรียกว่าความยาวของเวกเตอร์ถ่ายด้วยเครื่องหมาย “+” หากเป็นเวกเตอร์และแกน ลกำกับร่วม และมีเครื่องหมาย “–” หากและ ลทิศทางตรงกันข้าม.
ถ้าเป็นแกน ลเอาเวกเตอร์อื่นมาแล้วเราจะได้เส้นโครงของเวกเตอร์บนเวกเตอร์ r
มาดูคุณสมบัติพื้นฐานของการฉายภาพ:
1) การฉายภาพเวกเตอร์ต่อแกน ลเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์โดยโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์กับแกนนั่นคือ;
2.) การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนจะเป็นค่าบวก (ลบ) หากเวกเตอร์สร้างมุมแหลม (ป้าน) กับแกน และจะเท่ากับศูนย์หากมุมนี้ถูกต้อง
3) เส้นโครงของผลรวมของเวกเตอร์หลายตัวบนแกนเดียวกันจะเท่ากับผลรวมของเส้นโครงบนแกนนี้
ให้เรากำหนดคำจำกัดความและทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลคูณของเวกเตอร์ที่แสดงถึงการดำเนินการแบบไม่เชิงเส้นบนเวกเตอร์
5. สินค้าดอท เวกเตอร์และคือตัวเลข (สเกลาร์) เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมφ ระหว่างพวกเขานั่นคือ
. (2.27)
แน่นอนว่า สเกลาร์กำลังสองของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ จะเท่ากับกำลังสองของความยาวของมัน เนื่องจากในกรณีนี้ มุม ดังนั้นโคไซน์ (ใน 2.27) คือ 1
ทฤษฎีบท 2.2เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัวคือความเท่ากันของผลคูณสเกลาร์กับศูนย์
ผลที่ตามมาผลคูณสเกลาร์คู่ของเวกเตอร์หน่วยหน่วยมีค่าเท่ากับศูนย์ นั่นคือ
ทฤษฎีบท 2.3ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดโดยพิกัดของพวกเขาจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของพิกัดที่มีชื่อเดียวกันนั่นคือ
(2.28)
เมื่อใช้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ คุณสามารถคำนวณมุมได้ระหว่างพวกเขา หากให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวพร้อมพิกัดแล้วตามด้วยโคไซน์ของมุมφ ระหว่างพวกเขา:
(2.29)
นี่แสดงถึงสภาวะตั้งฉากของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์และ :
(2.30)
การหาเส้นโครงของเวกเตอร์ไปยังทิศทางที่กำหนดโดยเวกเตอร์ สามารถดำเนินการได้ตามสูตร
(2.31)
เมื่อใช้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ จะพบงานที่ทำโดยแรงคงที่บนเส้นทางตรง
ให้เราสมมติว่าภายใต้อิทธิพลของแรงคงที่ จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงจากตำแหน่ง กเพื่อวางตำแหน่ง บี.เวกเตอร์แรง สร้างมุม φ โดยมีเวกเตอร์การกระจัด (รูปที่ 2.14) ฟิสิกส์บอกว่างานของแรง เมื่อย้ายเท่ากับ
ดังนั้น การทำงานของแรงคงที่ระหว่างการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของจุดใช้งานจะเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์แรงและเวกเตอร์การกระจัดตัวอย่างที่ 2.9ใช้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ หามุมจุดยอดกสี่เหลี่ยมด้านขนานเอบีซีดี, สร้าง ขึ้นอยู่กับเวกเตอร์
สารละลาย.ให้เราคำนวณโมดูลัสของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์โดยใช้ทฤษฎีบท (2.3):
จากที่นี่ตามสูตร (2.29) เราจะได้โคไซน์ของมุมที่ต้องการ
ตัวอย่าง 2.10.ต้นทุนวัตถุดิบและทรัพยากรวัสดุที่ใช้ในการผลิตคอทเทจชีสหนึ่งตันแสดงไว้ในตารางที่ 2.2 (รูเบิล)
คืออะไร ราคารวมทรัพยากรเหล่านี้ใช้ไปกับการผลิตคอทเทจชีสหนึ่งตันเหรอ?ตารางที่ 2.2
แล้ว .ราคาทรัพยากรทั้งหมดซึ่งเป็นผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์- ให้เราคำนวณโดยใช้สูตร (2.28) ตามทฤษฎีบท 2.3:
ดังนั้นต้นทุนรวมในการผลิตคอทเทจชีสหนึ่งตันคือ 279,541.5 รูเบิลบันทึก- การดำเนินการกับเวกเตอร์ที่ดำเนินการในตัวอย่าง 2.10 สามารถดำเนินการได้ คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล- ในการค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ใน MS Excel ให้ใช้ฟังก์ชัน SUMPRODUCT() โดยระบุที่อยู่ของช่วงขององค์ประกอบเมทริกซ์ที่ต้องค้นหาผลรวมของผลิตภัณฑ์เป็นอาร์กิวเมนต์ ใน MathCAD ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวจะดำเนินการโดยใช้ตัวดำเนินการที่สอดคล้องกันบนแถบเครื่องมือ Matrix
ตัวอย่าง 2.11. คำนวณงานที่ทำโดยใช้กำลัง
ถ้าจุดของการประยุกต์เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงจากตำแหน่ง ก(2;4;6) ไปยังตำแหน่ง ก(4;2;7). จะมุมไหน. เอบี บังคับทิศทาง ?สารละลาย.ค้นหาเวกเตอร์การกระจัดโดยลบออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดพิกัดต้นทาง
- ตามสูตร (2.28)(หน่วยการทำงาน).
มุม φ ระหว่างและ เราหาได้จากสูตร (2.29) นั่นคือ
6. เวกเตอร์ที่ไม่ใช่โคพลานาร์สามตัวดำเนินการตามลำดับที่ระบุแบบฟอร์มขวาสาม, ถ้าเมื่อสังเกตจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สามการหมุนที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์แรกไปที่เวกเตอร์ที่สองจะทำทวนเข็มนาฬิกาและซ้าย ถ้าตามเข็มนาฬิกา
งานศิลปะของเว็กเตอร์ เวกเตอร์ถึงเวกเตอร์ เรียกว่าเวกเตอร์ ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
– ตั้งฉากกับเวกเตอร์และ ;
– มีความยาวเท่ากับ, ที่ไหน φ – มุมที่เกิดจากเวกเตอร์และ ;
– เวกเตอร์ สร้างสามทางขวา (รูปที่ 2.15)
ทฤษฎีบท 2.4เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์สองตัวคือผลคูณเวกเตอร์ของพวกมันมีค่าเท่ากับศูนย์
ทฤษฎีบท 2.5ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ซึ่งกำหนดโดยพิกัด จะเท่ากับปัจจัยกำหนดลำดับที่สามของแบบฟอร์ม
(2.32)
บันทึก.ปัจจัยกำหนด (2.25) ขยายตามคุณสมบัติของปัจจัย 7 ตัว
ข้อพิสูจน์ 1.เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์สองตัวคือสัดส่วนของพิกัดที่สอดคล้องกัน
ข้อพิสูจน์ 2.ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์หน่วยหน่วยมีค่าเท่ากัน
ข้อพิสูจน์ 3.เวกเตอร์กำลังสองของเวกเตอร์ใดๆ จะเป็นศูนย์
การตีความทางเรขาคณิตของผลคูณไขว้ คือความยาวของเวกเตอร์ที่ได้จะเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ สสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์แฟคเตอร์เมื่อด้านลดลงเหลือจุดกำเนิดเดียวกัน ตามคำจำกัดความแล้ว โมดูลัสของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์จะเท่ากับ. ในทางกลับกัน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์และก็เท่ากันเช่นกัน - เพราะฉะนั้น,
. (2.33)
นอกจากนี้ เมื่อใช้ผลคูณเวกเตอร์ คุณสามารถกำหนดโมเมนต์ของแรงสัมพันธ์กับจุดและเส้นตรงได้ ความเร็วในการหมุน
ให้ตรงจุด ก ใช้แรงและปล่อยให้ โอ – บางจุดในอวกาศ (รูปที่ 2.16) จากหลักสูตรฟิสิกส์ทราบมาว่า ช่วงเวลาแห่งพลัง สัมพันธ์กับประเด็น โอเรียกว่าเวกเตอร์ ซึ่งผ่านจุดนั้นไปโอและเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:
ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ โอ, ก, บี;
โมดูลัสของมันคือตัวเลขเท่ากับผลคูณของแรงที่แขน.
- สร้างสามทางขวามือด้วยเวกเตอร์และ.
ดังนั้นช่วงเวลาแห่งพลัง สัมพันธ์กับประเด็นโอเป็นผลิตภัณฑ์เวกเตอร์
. (2.34)
ความเร็วเชิงเส้น คะแนน มแข็ง การหมุนของร่างกาย ด้วยความเร็วเชิงมุม รอบแกนคงที่ซึ่งกำหนดโดยสูตรออยเลอร์, โอ– บางส่วนไม่เคลื่อนไหว
จุดแกน (รูปที่ 2.17)
ตัวอย่าง 2.12.หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้ผลคูณกากบาท เอบีซีสร้างขึ้นจากเวกเตอร์ลดเหลือจุดเริ่มต้นเดียว
คำจำกัดความและทฤษฎีบททั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์บนระนาบก็เป็นจริงสำหรับอวกาศเช่นกัน ให้เราจำคำจำกัดความพื้นฐาน
เพื่อกำหนดเวกเตอร์ที่เราต้องการ
คำนิยาม
ส่วนกำกับเรียกว่าจุดคู่สั่งในอวกาศ ส่วนที่มีการกำหนดทิศทางเรียกว่า เท่ากันหากมีความยาวและทิศทางเท่ากัน
คำนิยาม
เวกเตอร์คือชุดของเซ็กเมนต์ที่มีทิศทางทั้งหมดเท่ากัน
เวกเตอร์มักจะแสดงด้วยตัวอักษรละตินตัวพิมพ์เล็กโดยมีลูกศรอยู่ด้านบน: $\vec(a)$, $\vec(b)$, $\vec(c)$ ส่วนที่กำหนดทิศทางจะแสดงโดยการระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด โดยมีลูกศรอยู่ด้านบน: $\vec(AB)$
เวกเตอร์คือเซตที่ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนอนันต์ ส่วนที่กำหนดทิศทางมักเรียกว่า "เวกเตอร์" ถ้า $\vec(AB) \in \vec(a)$ ดังนั้นส่วนที่กำกับ $\vec(AB)$ จะถูกกล่าวว่าเป็นตัวแทนของเวกเตอร์ $\vec(a)$ ในกรณีนี้ ส่วนที่กำกับจะถูกวาดในภาพวาด และเรียกว่า "เวกเตอร์" ตัวอย่างเช่น เมื่อเราพูดว่า “ให้เราพล็อตเวกเตอร์ $\vec(r)$ จากจุด $O$ เราหมายความว่าเรากำลังสร้างเซกเมนต์กำกับ $\vec(OR)$ แทนเวกเตอร์ $\vec(r )$
คำนิยาม
เวกเตอร์ถูกเรียกว่า เท่ากันหากส่วนที่กำกับซึ่งเป็นตัวแทนเท่ากัน
คุณสามารถดำเนินการบวกและลบเวกเตอร์ได้ รวมทั้งคูณเวกเตอร์ที่กำหนดด้วยจำนวนจริงได้
รู้จักกฎสามเหลี่ยมจากระนาบ: $\vec(a)+\vec(b) = \vec(c)$,
กฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน: $\vec(a)+\vec(b) = \vec(c)$
และกฎของการบวกเวกเตอร์ที่ขาดสำหรับระนาบ ซึ่งก็เป็นจริงในอวกาศเช่นกัน
กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์หลายเส้น
ถ้า $A_1, \, A_2, \, \dots, \, A_n$ เป็นจุดใดๆ ในอวกาศ แล้ว
$ \vec(A_1A_2) + \จุด + \vec(A_(n-1)A_n) = \vec(A_1A_n) -
ยิ่งกว่านั้นในอวกาศมันเป็นความจริง
กฎคู่ขนาน
ถ้า $\vec(OA) \in \vec(a)$, $\vec(OB) \in \vec(b)$, $\vec(OC) \in \vec(c)$ แล้วสร้างบน เซกเมนต์กำกับของ $OAEBCFDG$ ที่ขนานกัน เราสามารถหาเซ็กเมนต์กำกับ $\vec(OD)$ ที่แทนเวกเตอร์ $\vec(d)$ ซึ่งเป็นผลรวมของเวกเตอร์ $\vec(a), \, \ vec(b), \, \vec(c).$
จะมีปัญหาให้คุณแก้ไขด้วยตัวเองซึ่งคุณสามารถดูคำตอบได้
แนวคิดเรื่องเวกเตอร์
ก่อนที่คุณจะเรียนรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับเวกเตอร์และการดำเนินการกับเวกเตอร์ ให้เตรียมพร้อมสำหรับการแก้ปัญหาง่ายๆ มีเวกเตอร์ของความเป็นผู้ประกอบการของคุณและเวกเตอร์ของความสามารถด้านนวัตกรรมของคุณ เวกเตอร์ของการเป็นผู้ประกอบการนำคุณไปสู่เป้าหมายที่ 1 และเวกเตอร์ของความสามารถเชิงนวัตกรรมนำคุณไปสู่เป้าหมายที่ 2 กฎของเกมคือคุณไม่สามารถเคลื่อนที่ไปตามทิศทางของเวกเตอร์ทั้งสองนี้พร้อมกันและบรรลุเป้าหมายสองข้อในคราวเดียว เวกเตอร์โต้ตอบหรือพูดด้วยภาษาคณิตศาสตร์ การดำเนินการบางอย่างเกิดขึ้นกับเวกเตอร์ ผลลัพธ์ของการดำเนินการนี้คือเวกเตอร์ "ผลลัพธ์" ซึ่งนำคุณไปสู่เป้าหมาย 3
บอกฉันที: ผลลัพธ์ของการดำเนินการกับเวกเตอร์ "ผู้ประกอบการ" และ "ความสามารถทางนวัตกรรม" ที่เป็นเวกเตอร์ "ผลลัพธ์" คืออะไร? หากบอกไม่ได้ทันทีอย่าท้อแท้ เมื่อคุณก้าวหน้าในบทเรียนนี้ คุณจะสามารถตอบคำถามนี้ได้
ดังที่เราได้เห็นข้างต้น เวกเตอร์จำเป็นต้องมาจากจุดใดจุดหนึ่ง กเป็นเส้นตรงถึงจุดหนึ่ง บี- ด้วยเหตุนี้ เวกเตอร์แต่ละตัวจึงไม่เพียงแต่มีค่าตัวเลข - ความยาว แต่ยังมีค่าทิศทางทางกายภาพและเรขาคณิตด้วย จากนี้มาเป็นคำจำกัดความแรกที่ง่ายที่สุดของเวกเตอร์ ดังนั้นเวกเตอร์คือเซกเมนต์ทิศทางที่มาจากจุดหนึ่ง กตรงประเด็น บี- กำหนดไว้ดังนี้..
และเริ่มต้นต่างๆ การดำเนินการกับเวกเตอร์ เราต้องมาทำความรู้จักกับนิยามของเวกเตอร์อีกคำหนึ่ง
เวกเตอร์คือประเภทของการแสดงจุดที่จำเป็นต้องไปถึงจากจุดเริ่มต้นบางจุด ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์สามมิติมักจะเขียนเป็น (x, y, z) . พูดง่ายๆ ก็คือ ตัวเลขเหล่านี้หมายถึงระยะทางที่คุณต้องเดินไปใน 3 ทิศทางที่แตกต่างกันเพื่อไปยังจุดหนึ่ง
ให้เวกเตอร์ถูกกำหนดไว้ ในเวลาเดียวกัน x = 3 (มือขวาชี้ไปทางขวา) ย = 1 (มือซ้ายชี้ไปข้างหน้า) z = 5 (ใต้จุดมีบันไดขึ้น) จากข้อมูลเหล่านี้คุณจะพบจุดโดยเดิน 3 เมตรในทิศทางที่ระบุ มือขวาจากนั้นเดินไป 1 เมตรในทิศทางที่มือซ้ายระบุ จากนั้นบันไดก็รอคุณอยู่ และเมื่อสูงขึ้นไป 5 เมตร คุณจะพบว่าตัวเองอยู่ที่จุดสิ้นสุดในที่สุด
คำศัพท์อื่นๆ ทั้งหมดเป็นการชี้แจงคำอธิบายที่นำเสนอข้างต้น ซึ่งจำเป็นสำหรับการดำเนินการต่างๆ กับเวกเตอร์ นั่นก็คือ การแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ มาดูคำจำกัดความที่เข้มงวดกว่านี้ โดยเน้นที่ปัญหาเวกเตอร์ทั่วไป
ตัวอย่างทางกายภาพปริมาณเวกเตอร์อาจเป็นการกระจัดของจุดวัสดุที่เคลื่อนที่ในอวกาศ ความเร็วและความเร่งของจุดนี้ ตลอดจนแรงที่กระทำต่อจุดนั้น
เวกเตอร์เรขาคณิตนำเสนอในพื้นที่สองมิติและสามมิติในรูปแบบ ส่วนทิศทาง- นี่คือส่วนที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด
ถ้า ก- จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และ บี- สิ้นสุดแล้วเวกเตอร์จะแสดงด้วยสัญลักษณ์หรืออักษรตัวพิมพ์เล็กหนึ่งตัว . ในรูป จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์จะแสดงด้วยลูกศร (รูปที่ 1)
ความยาว(หรือ โมดูล) ของเวกเตอร์เรขาคณิตคือความยาวของส่วนที่สร้างเวกเตอร์นั้น
เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า เท่ากัน หากสามารถรวมกันได้ (หากทิศทางตรงกัน) โดยการโอนแบบขนานเช่น ถ้าขนานกัน มีทิศทางเดียวกันและมีความยาวเท่ากัน
ในวิชาฟิสิกส์ก็มักจะถือว่า เวกเตอร์ที่ปักหมุดไว้กำหนดตามจุดใช้งาน ความยาว และทิศทาง หากจุดใช้งานของเวกเตอร์ไม่สำคัญ ก็จะสามารถถ่ายโอนเวกเตอร์ไปยังจุดใดก็ได้ในอวกาศ โดยคงความยาวและทิศทางไว้ ในกรณีนี้เรียกว่าเวกเตอร์ ฟรี- เราจะตกลงพิจารณาเท่านั้น เวกเตอร์ฟรี.
การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์เรขาคณิต
การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข
ผลคูณของเวกเตอร์ ต่อหมายเลขเป็นเวกเตอร์ที่ได้มาจากเวกเตอร์โดยการยืด (at ) หรือการบีบอัด (at ) ด้วยปัจจัย และทิศทางของเวกเตอร์ยังคงเหมือนเดิม if และเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม if (รูปที่ 2)
จากคำจำกัดความจะเป็นไปตามว่าเวกเตอร์และ = อยู่บนเส้นเดียวหรือเส้นขนานเสมอ เวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่า คอลลิเนียร์- (เราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์เหล่านี้ขนานกัน แต่ในพีชคณิตเวกเตอร์ เป็นเรื่องปกติที่จะพูดว่า "คอลลิเนียร์") สิ่งที่กลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน: หากเวกเตอร์เป็นคอลลิเนียร์ ก็สัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์
ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน (1) จึงเป็นการแสดงออกถึงสภาวะของการคอลลิเนียร์ริตีของเวกเตอร์สองตัว
การบวกและการลบเวกเตอร์
เมื่อบวกเวกเตอร์ คุณต้องรู้สิ่งนี้ จำนวนเวกเตอร์ และเรียกว่าเวกเตอร์ ซึ่งจุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์และจุดสิ้นสุด - ที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ โดยมีเงื่อนไขว่าจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์จะติดกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ (รูปที่ 3)
คำจำกัดความนี้สามารถกระจายไปตามจำนวนเวกเตอร์ที่มีจำกัดใดๆ ได้ ปล่อยให้พวกเขาได้รับในอวกาศ nเวกเตอร์ฟรี เมื่อบวกเวกเตอร์หลายตัว ผลรวมของเวกเตอร์จะถือเป็นเวกเตอร์ปิด ซึ่งจุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรก และจุดสิ้นสุดด้วยจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์สุดท้าย นั่นคือ หากคุณแนบจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์เข้ากับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ และแนบจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์เข้ากับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ เป็นต้น และสุดท้ายที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ - จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ ผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้คือเวกเตอร์ปิด จุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรกและจุดสิ้นสุด - กับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์สุดท้าย (รูปที่ 4)
คำศัพท์เหล่านี้เรียกว่าส่วนประกอบของเวกเตอร์ และกฎที่กำหนดไว้คือ กฎรูปหลายเหลี่ยม- รูปหลายเหลี่ยมนี้อาจไม่แบน
เมื่อเวกเตอร์คูณด้วยตัวเลข -1 จะได้เวกเตอร์ที่ตรงกันข้าม เวกเตอร์และมีความยาวเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม ผลรวมของพวกเขาให้ เวกเตอร์เป็นศูนย์ซึ่งมีความยาวเป็นศูนย์ ไม่ได้กำหนดทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์
ในพีชคณิตเวกเตอร์ ไม่จำเป็นต้องพิจารณาการดำเนินการลบแยกกัน การลบเวกเตอร์ออกจากเวกเตอร์หมายถึงการเพิ่มเวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ กล่าวคือ
ตัวอย่างที่ 1ลดความซับซ้อนของนิพจน์:
.
,
นั่นคือ เวกเตอร์สามารถบวกและคูณด้วยตัวเลขได้ในลักษณะเดียวกับพหุนาม (โดยเฉพาะ ปัญหาเรื่องการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นด้วย) โดยทั่วไปแล้ว ความจำเป็นในการลดความซับซ้อนของนิพจน์เชิงเส้นตรงที่มีเวกเตอร์เกิดขึ้นก่อนที่จะคำนวณผลคูณของเวกเตอร์
ตัวอย่างที่ 2เวกเตอร์และทำหน้าที่เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD (รูปที่ 4a) แสดงผ่าน และเวกเตอร์ , , และ ซึ่งเป็นด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้
สารละลาย. จุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งครึ่งแต่ละเส้นทแยงมุม เราค้นหาความยาวของเวกเตอร์ที่ต้องการในคำชี้แจงปัญหาไม่ว่าจะเป็นครึ่งหนึ่งของผลรวมของเวกเตอร์ที่ก่อตัวเป็นสามเหลี่ยมด้วยค่าที่ต้องการ หรือเป็นครึ่งหนึ่งของผลต่าง (ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ที่ทำหน้าที่เป็นเส้นทแยงมุม) หรือ เช่นในกรณีหลัง ครึ่งหนึ่งของผลรวมมีเครื่องหมายลบ ผลลัพธ์คือเวกเตอร์ที่ต้องการในคำชี้แจงปัญหา:
มีเหตุผลทุกประการที่เชื่อได้ว่าตอนนี้คุณได้ตอบคำถามเกี่ยวกับเวกเตอร์ “ความเป็นผู้ประกอบการ” และ “ความสามารถด้านนวัตกรรม” อย่างถูกต้องในตอนต้นของบทเรียนนี้แล้ว คำตอบที่ถูกต้อง: ดำเนินการบวกกับเวกเตอร์เหล่านี้
แก้ปัญหาเวกเตอร์ด้วยตัวเองแล้วดูวิธีแก้ปัญหา
จะหาความยาวของผลรวมของเวกเตอร์ได้อย่างไร?
ปัญหานี้ตรงบริเวณสถานที่พิเศษในการดำเนินการกับเวกเตอร์ เนื่องจากเกี่ยวข้องกับการใช้คุณสมบัติตรีโกณมิติ สมมติว่าคุณเจองานดังต่อไปนี้:
กำหนดความยาวของเวกเตอร์ และความยาวของผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้ จงหาความยาวของผลต่างระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้
แนวทางแก้ไขปัญหานี้และปัญหาอื่น ๆ ที่คล้ายกันและคำอธิบายวิธีแก้ปัญหาอยู่ในบทเรียน " การบวกเวกเตอร์: ความยาวของผลรวมของเวกเตอร์และทฤษฎีบทโคไซน์ ".
และสามารถตรวจสอบแนวทางแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้ที่ เครื่องคิดเลขออนไลน์ "ด้านที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยม (การบวกเวกเตอร์และทฤษฎีบทโคไซน์)" .
ผลคูณของเวกเตอร์อยู่ที่ไหน?
ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์-เวกเตอร์ไม่ใช่การดำเนินการเชิงเส้นและถือว่าแยกกัน และเรามีบทเรียน "ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์" และ "เวกเตอร์และผลคูณของเวกเตอร์"
การฉายภาพเวกเตอร์บนแกน
การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ที่ฉายภาพและโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์กับแกน:
ดังที่ทราบกันดีว่าการฉายภาพแบบจุด กบนเส้นตรง (ระนาบ) คือฐานของเส้นตั้งฉากที่หล่นจากจุดนี้เข้าสู่เส้นตรง (ระนาบ)
อนุญาต เป็นเวกเตอร์ที่กำหนดเอง (รูปที่ 5) และ เป็นเส้นโครงของจุดกำเนิดของมัน (จุด ก) และสิ้นสุด (คะแนน บี) ต่อแกน ล- (เพื่อสร้างเส้นโครงของจุด ก) ลากเส้นตรงผ่านจุด กระนาบตั้งฉากกับเส้นตรง จุดตัดของเส้นและระนาบจะกำหนดเส้นโครงที่ต้องการ
ส่วนประกอบเวกเตอร์ บนแกน lเรียกว่าเวกเตอร์ดังกล่าวซึ่งอยู่บนแกนนี้ซึ่งจุดเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับการฉายภาพจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดด้วยการฉายภาพจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์
การฉายภาพเวกเตอร์บนแกน ลหมายเลขที่เรียก
,
เท่ากับความยาวของเวกเตอร์ส่วนประกอบบนแกนนี้ โดยมีเครื่องหมายบวกถ้าทิศทางของส่วนประกอบตรงกับทิศทางของแกน ลและมีเครื่องหมายลบหากทิศทางเหล่านี้อยู่ตรงข้ามกัน
คุณสมบัติพื้นฐานของเส้นโครงเวกเตอร์บนแกน:
1. เส้นโครงของเวกเตอร์ที่เท่ากันบนแกนเดียวกันจะเท่ากัน
2. เมื่อเวกเตอร์ถูกคูณด้วยตัวเลข เส้นโครงของเวกเตอร์จะถูกคูณด้วยจำนวนเดียวกัน
3. เส้นโครงของผลรวมของเวกเตอร์บนแกนใดๆ เท่ากับผลรวมของเส้นโครงของผลรวมของเวกเตอร์บนแกนเดียวกัน
4. การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ที่ฉายและโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์กับแกน:
.
สารละลาย. ลองฉายเวกเตอร์ลงบนแกนกัน ลตามที่กำหนดไว้ในภูมิหลังทางทฤษฎีข้างต้น จากรูปที่ 5a เห็นได้ชัดว่าเส้นโครงของผลรวมของเวกเตอร์เท่ากับผลรวมของเส้นโครงของเวกเตอร์ เราคำนวณการคาดการณ์เหล่านี้:
เราพบการฉายภาพสุดท้ายของผลรวมของเวกเตอร์:
ความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์กับระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมในอวกาศ
ทำความรู้จัก ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมในอวกาศเกิดขึ้นในบทเรียนที่เกี่ยวข้องแนะนำให้เปิดในหน้าต่างใหม่
ในระบบสั่งแกนพิกัด 0xyzแกน วัวเรียกว่า แกน x, แกน 0ปี – แกน yและแกน 0z – ใช้แกน.
ด้วยจุดใดก็ได้ มเวกเตอร์เชื่อมต่ออวกาศ
เรียกว่า เวกเตอร์รัศมีคะแนน มและฉายลงบนแกนพิกัดแต่ละแกน ให้เราแสดงขนาดของเส้นโครงที่สอดคล้องกัน:
ตัวเลข x, y, zถูกเรียกว่า พิกัดจุดเอ็มตามลำดับ แอบซิสซา, บวชและ สมัครและเขียนเป็นจุดเรียงลำดับของตัวเลข: M(x;y;z)(รูปที่ 6)
เวกเตอร์ของความยาวหน่วยซึ่งมีทิศทางตรงกับทิศทางของแกนเรียกว่า เวกเตอร์หน่วย(หรือ ออร์ตอม) แกน ให้เราแสดงโดย
ดังนั้นเวกเตอร์หน่วยของแกนพิกัด วัว, เฮ้ย, ออนซ์
ทฤษฎีบท.เวกเตอร์ใดๆ สามารถขยายเป็นเวกเตอร์หน่วยของแกนพิกัดได้:
(2)
ความเท่าเทียมกัน (2) เรียกว่าการขยายตัวของเวกเตอร์ตามแนวแกนพิกัด ค่าสัมประสิทธิ์ของการขยายตัวนี้คือการฉายเวกเตอร์ลงบนแกนพิกัด ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัว (2) ของเวกเตอร์ตามแนวแกนพิกัดจึงเป็นพิกัดของเวกเตอร์
หลังจากเลือกระบบพิกัดที่แน่นอนในอวกาศ เวกเตอร์และแฝดของพิกัดจะกำหนดซึ่งกันและกันโดยไม่ซ้ำกัน ดังนั้นเวกเตอร์จึงสามารถเขียนอยู่ในรูปแบบได้
การแสดงเวกเตอร์ในรูปแบบ (2) และ (3) เหมือนกัน
เงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียร์ริตีของเวกเตอร์ในพิกัด
ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว เวกเตอร์จะเรียกว่าคอลลิเนียร์หากมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์
ให้เวกเตอร์ถูกกำหนดไว้ - เวกเตอร์เหล่านี้เป็นเส้นตรงถ้าพิกัดของเวกเตอร์มีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์
,
นั่นคือพิกัดของเวกเตอร์นั้นเป็นสัดส่วน
ตัวอย่างที่ 6มีการระบุเวกเตอร์ - เวกเตอร์เหล่านี้อยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่?
สารละลาย. มาดูความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้กันดีกว่า:
.
พิกัดของเวกเตอร์นั้นเป็นสัดส่วน ดังนั้น เวกเตอร์จึงเป็นเส้นตรงหรือที่เหมือนกันคือขนานกัน
ความยาวเวกเตอร์และโคไซน์ทิศทาง
เนื่องจากความตั้งฉากร่วมกันของแกนพิกัดความยาวของเวกเตอร์
เท่ากับความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์
และแสดงออกด้วยความเท่าเทียมกัน
(4)
เวกเตอร์ถูกกำหนดโดยสมบูรณ์โดยการระบุจุดสองจุด (จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด) ดังนั้นพิกัดของเวกเตอร์จึงสามารถแสดงในรูปของพิกัดของจุดเหล่านี้ได้
ในระบบพิกัดที่กำหนด จุดกำเนิดของเวกเตอร์จะอยู่ที่จุดนั้น
และจุดสิ้นสุดก็อยู่ที่จุดนั้น
จากความเท่าเทียมกัน
มันเป็นไปตามนั้น
หรือในรูปแบบประสานงาน
เพราะฉะนั้น, พิกัดเวกเตอร์เท่ากับความแตกต่างระหว่างพิกัดเดียวกันของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ - สูตร (4) ในกรณีนี้จะอยู่ในรูปแบบ
กำหนดทิศทางของเวกเตอร์ โคไซน์ทิศทาง - เหล่านี้คือโคไซน์ของมุมที่เวกเตอร์สร้างด้วยแกน วัว, เฮ้ยและ ออนซ์- ให้เราแสดงมุมเหล่านี้ตามนั้น α , β และ γ - จากนั้นสามารถหาโคไซน์ของมุมเหล่านี้ได้โดยใช้สูตร
โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ก็เป็นพิกัดของเวกเตอร์ของเวกเตอร์นั้นด้วย และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเวกเตอร์ของเวกเตอร์
.
เมื่อพิจารณาว่าความยาวของเวกเตอร์หน่วยเท่ากับหนึ่งหน่วย นั่นก็คือ
,
เราได้รับความเท่าเทียมกันต่อไปนี้สำหรับโคไซน์ทิศทาง:
ตัวอย่างที่ 7จงหาความยาวของเวกเตอร์ x = (3; 0; 4).
สารละลาย. ความยาวของเวกเตอร์คือ
ตัวอย่างที่ 8คะแนนที่ได้รับ:
ค้นหาว่าสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนจุดเหล่านี้เป็นหน้าจั่วหรือไม่
สารละลาย. เมื่อใช้สูตรความยาวเวกเตอร์ (6) เราจะค้นหาความยาวของด้านและพิจารณาว่ามีสองอันที่เท่ากันหรือไม่:
พบด้านที่เท่ากันสองด้านแล้ว ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมองหาความยาวของด้านที่สาม และสามเหลี่ยมที่ให้มาคือหน้าจั่ว
ตัวอย่างที่ 9จงหาความยาวของเวกเตอร์และทิศทางของเวกเตอร์ถ้า .
สารละลาย. พิกัดเวกเตอร์จะได้รับ:
.
ความยาวของเวกเตอร์เท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัดเวกเตอร์:
.
การหาโคไซน์ทิศทาง:
แก้โจทย์เวกเตอร์ด้วยตัวเองแล้วดูวิธีแก้ปัญหา
การดำเนินการกับเวกเตอร์ที่กำหนดในรูปแบบพิกัด
ให้เวกเตอร์สองตัวและได้รับกำหนดโดยเส้นโครง:
ให้เราระบุการกระทำของเวกเตอร์เหล่านี้